| TAZ-TFG-2024-4613 |
La descomposición en valores singulares
Jiménez Segura, Carmen
Orera Hernández, Héctor (dir.)
Universidad de Zaragoza,
CIEN,
2024
Graduado en Matemáticas
Resumen: A lo largo de la historia de la teoría de matrices, uno de los objetivos principales ha sido buscar una descomposición matricial o una descomposición en forma canónica. A lo largo del siglo XVIII algunos matemáticos estudiaron una descomposición para matrices cuadradas basada en los valores propios. Sin embargo, hasta el siglo XIX no se encontró una descomposición matricial para matrices rectangulares. Eugenio Beltrami, Camille Jordan, James Joseph, Erhard Schmidt y Hermann Weyl enunciaron la existencia de los valores singulares y desarrollaron su teoría, aplicándola a diferentes ramas de las matemáticas como el álgebra lineal o las ecuaciones integrales.
La descomposición en valores singulares es una descomposición de una matriz A como producto de tres matrices, dos matrices ortogonales e invertibles, U y V, y una matriz diagonal Σ tal que sus entradas son los valores singulares de A en orden decreciente. El producto resulta de la forma A = UΣVT. Esta descomposición tiene diferentes utilidades, tanto en el ámbito de las matemáticas, como en campos más prácticos. Algunos ejemplos son la compresión de imágenes, el análisis de datos o la resolución de problemas de mínimos cuadrados.
Este trabajo está dividido en dos capítulos. En el primer capítulo vamos a estudiar la existencia de la descomposición en valores singulares y algunos resultados sobre la misma, como su relación con diferentes normas, su importancia en el problema de mínimos cuadrados o el teorema de mejor aproximación aplicado a la compresión de imágenes. Mientras que en el segundo capítulo vamos a presentar un método numérico para obtener la descomposición en valores singulares. Este método está dividido en dos pasos, un primer paso de bidiagonalización, seguido de un segundo paso de búsqueda de los valores singulares de la bidiagonal mediante iteraciones del algoritmo QR implícito.
La descomposición en valores singulares es una descomposición de una matriz A como producto de tres matrices, dos matrices ortogonales e invertibles, U y V, y una matriz diagonal Σ tal que sus entradas son los valores singulares de A en orden decreciente. El producto resulta de la forma A = UΣVT. Esta descomposición tiene diferentes utilidades, tanto en el ámbito de las matemáticas, como en campos más prácticos. Algunos ejemplos son la compresión de imágenes, el análisis de datos o la resolución de problemas de mínimos cuadrados.
Este trabajo está dividido en dos capítulos. En el primer capítulo vamos a estudiar la existencia de la descomposición en valores singulares y algunos resultados sobre la misma, como su relación con diferentes normas, su importancia en el problema de mínimos cuadrados o el teorema de mejor aproximación aplicado a la compresión de imágenes. Mientras que en el segundo capítulo vamos a presentar un método numérico para obtener la descomposición en valores singulares. Este método está dividido en dos pasos, un primer paso de bidiagonalización, seguido de un segundo paso de búsqueda de los valores singulares de la bidiagonal mediante iteraciones del algoritmo QR implícito.
Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado
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