TAZ-TFG-2015-1936


De los grupos de Lie a los instantones gravitacionales.

Alonso Álvarez, Gonzalo
Ugarte Vilumbrales, Luis (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2015
Matemáticas department, Geometría y Topología area

Graduado en Matemáticas

Abstract: Un grupo de Lie es una variedad diferenciable que al mismo tiempo es grupo algebraico, siendo ambas estructuras compatibles en el sentido de que la multiplicación y la inversión del grupo son aplicaciones diferenciables. Además de proporcionar ejemplos de variedades con propiedades muy interesantes, los grupos de Lie son una herramienta esencial en el estudio de variedades más generales, principalmente por el papel que juegan como grupos de simetría de otras variedades. Como veremos, en este aspecto será especialmente relevante el grupo lineal general, al que se puede dotar de estructura de grupo de Lie. Serán sus subgrupos de Lie los que, con su acción sobre variedades diferenciables, determinen en cierto sentido algunas propiedades geométricas de dichas variedades. Si queremos hablar de geometría en variedades diferenciables, es preciso definir algún objeto que nos permita introducir conceptos como ángulos y longitudes. Este papel lo van a jugar las métricas de Riemann, que son esencialmente una elección de un producto escalar en cada espacio tangente a la variedad. Así, vamos a poder también definir la curvatura como un invariante local de las variedades de Riemann que nos permite distinguir cuánto se diferencia una variedad del espacio modelo $\R^n$. El objetivo final del trabajo es la construcción de una familia de métricas de Riemann sobre una variedad de dimensión $4$ con propiedades muy especiales. En concreto, conseguiremos que la métrica sea híper Kähler, lo que implica la existencia de tres estructuras casi complejas integrables cumpliendo las relaciones cuaterniónicas y tres formas simplécticas compatibles con la métrica, como veremos en el trabajo. Este tipo de estructuras tan ricas tienen aplicaciones tanto en la geometría como en la física. Centrándonos en la física, las métricas híper Kähler son siempre Ricci-llanas, lo que implica que son solución de las ecuaciones de Einstein en el vacío, de manera que son interesantes desde el punto de vista de la teoría de la relatividad general de Einstein. En particular, existen unos objetos, llamados instantones gravitacionales, que son precisamente métricas híper Kähler en dimensión $4$ a las que se les exigen algunas propiedades adicionales. Lo esencial es que la métrica sea híper Kähler, pues las otras propiedades se pueden conseguir a partir de la variedad meramente híper Kähler, aunque con métodos sofisticados que no trataremos en este trabajo. En la construcción de las métricas híper Kähler en dimensión $4$ van a jugar un papel esencial los grupos de Lie, ya que la idea es hacer evolucionar en una variable adicional un grupo de Lie de dimensión $3$ hasta convertirlo en una variedad de Riemann de dimensión $4$ que admita una métrica híper Kähler. La idea de evolución se puede entender de la siguiente manera: el grupo de Lie de dimensión $3$ estará encajado isométricamente en la variedad de dimensión $4$ como híper superficie. La evolución vendrá fijada por la condición de que la métrica resultante sea híper Kähler, condición que como veremos dará como resultado unas ecuaciones de evolución, que formarán un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Como ya se ha podido ir intuyendo a lo largo del prólogo, el contenido de este trabajo no se limita a las variedades diferenciables y a la geometría, sino que involucra conceptos y herramientas de otros campos como el álgebra, el análisis o la física.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado

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