000075522 001__ 75522 000075522 005__ 20210520140803.0 000075522 037__ $$aTESIS-2018-088 000075522 041__ $$aeng 000075522 080__ $$a51; 519.6 000075522 1001_ $$aCórdova Martínez, Alejandra Sarina 000075522 24500 $$aGradings on a family of simple structurable algebras 000075522 260__ $$aZaragoza$$bUniversidad de Zaragoza, Prensas de la Universidad$$c2018 000075522 300__ $$a135 000075522 4900_ $$aTesis de la Universidad de Zaragoza$$v2018-88$$x2254-7606 000075522 500__ $$aPresentado: 14 09 2018 000075522 502__ $$aTesis-Univ. Zaragoza, Instituto Universitario de Investigación de Matemáticas y Aplicaciones (IUMA), 2018$$bZaragoza, Universidad de Zaragoza$$c2018 000075522 506__ $$aall-rights-reserved 000075522 520__ $$aLas graduaciones por grupos abelianos en álgebras de Lie simples de dimensión finita son ubicuas, empezando con la descomposición como espacios de raíces con respecto a una subálgebra de Cartan en un _algebra de Lie simple que escinde. Sin embargo, un estudio sistemático de graduaciones empezó apenas en 1989 con Patera y Zassenhaus [PZ89]. Cualquier graduación es un engrosamiento de una graduación fina, por lo tanto estas se convirtieron<br />en un objeto central de estudio. En particular, la descomposición como espacios<br />de raíces antes mencionada es fina. La clasificación de graduaciones finas en las álgebras de Lie clásicas simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 fue finalmente lograda en [Eld10]. Para los casos excepcionales esto se logró a través del trabajo de varios autores: Elduque, Draper, Martín-González, Bahturin, Tvalavadze, Viruel, Yu. (Ver la monografía [EK13] o el trabajo [DE16] para encontrar detalles y referencias.)<br />Las llamadas graduaciones por sistemas de raíces fueron introducidas por Berman y Moody [BM92] y estudiadas por muchos autores: Neher, Benkart, Zelmanov, Allison, Smirnov, etcétera. Estas graduaciones han sido usadas para estudiar familias interesantes de algebras de Lie de dimensión infinita que incluyen a las _algebras de Lie de Kac-Moody.<br />En 2015, en el esfuerzo por clasificar graduaciones finas en las álgebras de Lie simples excepcionales, Elduque [Eld15] probó que cualquier graduación fina en un _algebra de Lie simple de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 se obtiene mezclando, de una forma precisa, una graduación por un sistema de raíces, no necesariamente reducido, de rango igual al rango libre del grupo universal de la graduación fina, y una graduación fina en el `_algebra coordenada' asociada a la graduación por el sistema de raíces. Esta `álgebra coordenada' es, en general, un álgebra no asociativa.<br />En particular, para las graduaciones por el sistema de raíces no reducido de tipo BC1, el álgebra coordenada es un _algebra estructurable.<br />Las álgebras estructurables fueron estudiadas por primera vez en 1972 en [K72] por I. L. Kantor quien estaba estudiando una clase más general de álgebras llamada álgebras conservativas. B. N. Allison introdujo las _algebras estructurables, en 1978 en [Al78], como álgebras unitarias (no necesariamente asociativas) con involución que satisfacen ciertas identidades. Los ejemplos más conocidos de álgebras estructurables son las álgebras de Jordan (con la identidad como involución).<br />En [Al78] Allison dio un teorema de clasificación de álgebras estructurables simples centrales de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0 con un caso faltante. O. Smirnov probó en [Sm90, Teorema 2.1] que cualquier álgebra estructurable semisimple es la suma directa de álgebras simples. Las álgebras simples son simples centrales sobre su centro, entonces la descripción de las álgebras semisimples se reduce a la descripción de las álgebras simples centrales. Smirnov, en [Sm90, Teorema 3.8], también completó la clasificación de las álgebras estructurables simples centrales de dimensión finita sobre un cuerpo de característica distinta de 2, 3 y 5.<br />Las álgebras estructurables simples centrales (A; -) dan lugar a álgebras de Lie simples centrales a través de diferentes construcciones. Un ejemplo es la construcción modificada de Kantor-Koecher-Tits usada en [Al79] para obtener todas las álgebras de Lie simples isotrópicas sobre cuerpos de característica 0. Esta es la construcción que yace detrás de las _algebras de Lie graduadas por el sistema de raíces no reducido de tipo BC1. Para un grupo G, partiendo de una G-graduación en un álgebra estructurable simple central, podemos obtener una Z x G-graduación en el álgebra de Lie simple central asociada. Si la graduación en el álgebra estructurable es fina también lo es la graduación obtenida en el álgebra de Lie simple.<br />El objetivo principal de esta tesis es la clasificación de las graduaciones (por grupos) en una de las familias de álgebras estructurables simples: el producto tensorial de un álgebra de Cayley y un álgebra de Hurwitz (C1 C2; 000075522 520__ $$aGradings by abelian groups on finite-dimensional simple Lie algebras are ubiquitous, starting with the root space decomposition with respect to a Cartan subalgebra in a split simple Lie algebra. The main goal of this thesis is the classification of gradings (by groups) on one of the families of simple structurable algebras: the tensor product of a Cayley algebra and a Hurwitz algebra with the involution being the tensor product of the standard involutions. In the process of obtaining the gradings on the tensor product we found that the problem could be reduced to the problem of finding gradings on the cartesian product. Of course this is not a simple algebra, but a semisimple one, and not much work has been done on gradings on such algebras. With the classification of gradings on semisimple algebras (direct products of simple finite-dimensional algebras) at hand, we could finally complete the sought classification of gradings on the structurable algebras.<br /> 000075522 521__ $$97078$$aPrograma de Doctorado en Matemáticas y Estadística 000075522 6531_ $$aalgebras no asociativas 000075522 700__ $$aELDUQUE PALOMO, ALBERTO CARLOS$$edir. 000075522 7102_ $$aUniversidad de Zaragoza$$bInstituto Universitario de Investigación de Matemáticas y Aplicaciones (IUMA) 000075522 830__ $$9490 000075522 8560_ $$ftdr@unizar.es 000075522 8564_ $$s1012934$$uhttps://zaguan.unizar.es/record/75522/files/TESIS-2018-088.pdf$$zTexto completo (eng) 000075522 909CO $$ooai:zaguan.unizar.es:75522$$pdriver 000075522 909co $$ptesis 000075522 9102_ $$a$$bInstituto Universitario de Investigación de Matemáticas y Aplicaciones (IUMA) 000075522 980__ $$aTESIS