Gradings on a family of simple structurable algebras

Córdova Martínez, Alejandra Sarina
ELDUQUE PALOMO, ALBERTO CARLOS (dir.)

Universidad de Zaragoza, 2018
(Instituto Universitario de Investigación de Matemáticas y Aplicaciones (IUMA))


Resumen: Las graduaciones por grupos abelianos en álgebras de Lie simples de dimensión finita son ubicuas, empezando con la descomposición como espacios de raíces con respecto a una subálgebra de Cartan en un _algebra de Lie simple que escinde. Sin embargo, un estudio sistemático de graduaciones empezó apenas en 1989 con Patera y Zassenhaus [PZ89]. Cualquier graduación es un engrosamiento de una graduación fina, por lo tanto estas se convirtieron
en un objeto central de estudio. En particular, la descomposición como espacios
de raíces antes mencionada es fina. La clasificación de graduaciones finas en las álgebras de Lie clásicas simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 fue finalmente lograda en [Eld10]. Para los casos excepcionales esto se logró a través del trabajo de varios autores: Elduque, Draper, Martín-González, Bahturin, Tvalavadze, Viruel, Yu. (Ver la monografía [EK13] o el trabajo [DE16] para encontrar detalles y referencias.)
Las llamadas graduaciones por sistemas de raíces fueron introducidas por Berman y Moody [BM92] y estudiadas por muchos autores: Neher, Benkart, Zelmanov, Allison, Smirnov, etcétera. Estas graduaciones han sido usadas para estudiar familias interesantes de algebras de Lie de dimensión infinita que incluyen a las _algebras de Lie de Kac-Moody.
En 2015, en el esfuerzo por clasificar graduaciones finas en las álgebras de Lie simples excepcionales, Elduque [Eld15] probó que cualquier graduación fina en un _algebra de Lie simple de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 se obtiene mezclando, de una forma precisa, una graduación por un sistema de raíces, no necesariamente reducido, de rango igual al rango libre del grupo universal de la graduación fina, y una graduación fina en el `_algebra coordenada' asociada a la graduación por el sistema de raíces. Esta `álgebra coordenada' es, en general, un álgebra no asociativa.
En particular, para las graduaciones por el sistema de raíces no reducido de tipo BC1, el álgebra coordenada es un _algebra estructurable.
Las álgebras estructurables fueron estudiadas por primera vez en 1972 en [K72] por I. L. Kantor quien estaba estudiando una clase más general de álgebras llamada álgebras conservativas. B. N. Allison introdujo las _algebras estructurables, en 1978 en [Al78], como álgebras unitarias (no necesariamente asociativas) con involución que satisfacen ciertas identidades. Los ejemplos más conocidos de álgebras estructurables son las álgebras de Jordan (con la identidad como involución).
En [Al78] Allison dio un teorema de clasificación de álgebras estructurables simples centrales de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0 con un caso faltante. O. Smirnov probó en [Sm90, Teorema 2.1] que cualquier álgebra estructurable semisimple es la suma directa de álgebras simples. Las álgebras simples son simples centrales sobre su centro, entonces la descripción de las álgebras semisimples se reduce a la descripción de las álgebras simples centrales. Smirnov, en [Sm90, Teorema 3.8], también completó la clasificación de las álgebras estructurables simples centrales de dimensión finita sobre un cuerpo de característica distinta de 2, 3 y 5.
Las álgebras estructurables simples centrales (A; -) dan lugar a álgebras de Lie simples centrales a través de diferentes construcciones. Un ejemplo es la construcción modificada de Kantor-Koecher-Tits usada en [Al79] para obtener todas las álgebras de Lie simples isotrópicas sobre cuerpos de característica 0. Esta es la construcción que yace detrás de las _algebras de Lie graduadas por el sistema de raíces no reducido de tipo BC1. Para un grupo G, partiendo de una G-graduación en un álgebra estructurable simple central, podemos obtener una Z x G-graduación en el álgebra de Lie simple central asociada. Si la graduación en el álgebra estructurable es fina también lo es la graduación obtenida en el álgebra de Lie simple.
El objetivo principal de esta tesis es la clasificación de las graduaciones (por grupos) en una de las familias de álgebras estructurables simples: el producto tensorial de un álgebra de Cayley y un álgebra de Hurwitz (C1 C2;􀀀) siendo la involución el producto tensorial de las involuciones estándar de C1 y C2 respectivamente. Sabemos, por [Al79], que podemos obtener las álgebras de Lie simples centrales de tipo F4, E6, E7 y E8, a través de una construcción Kantor-Koecher-Tits modificada, a partir de estas álgebras (C1 C2;􀀀).
Una graduación fina muy importante en el álgebra estructurable simple excepcional de dimensión 56, que es responsable de algunas graduaciones peculiares en las álgebras de Lie simples de tipo E fue estudiada por Diego Aranda-Orna en su tesis [Ara17] (ver también [AEK14]), y las graduaciones en las _algebras estructurables simples de dimensión 35 descubiertas por Smirnov [Sm90], las cuales faltaron en la clasificación inicial de Allison, también han sido clasificadas por Diego Aranda-Orna (aún no publicado).
En el proceso de obtención de las graduaciones en el producto tensorial (C1C2;􀀀) encontramos que el problema se podía reducir a encontrar graduaciones en el producto cartesiano C1 _C2. Por supuesto esta no es un álgebra simple, sino una semisimple, y no se ha trabajado mucho en graduaciones en dichas álgebras. Sin embargo, las herramientas necesarias para movernos de álgebras simples a semisimples (esta palabra significaría una suma directa finita de álgebras simples) son ya conocidas, por lo tanto partimos de nuestro objetivo original para dar clasificaciones completas de graduaciones en álgebras semisimples, una vez que las graduaciones en _algebras simples son conocidas.
Con la clasificación de graduaciones en álgebras semisimples a la mano, pudimos finalmente completar la buscada clasificación de graduaciones en álgebras estructurables (C1 C2;􀀀).
Nos referiremos a graduaciones por grupos cuando pongamos solamente “graduaciones".
La estructura de esta tesis es la siguiente:
En el Capítulo 1 damos definiciones y resultados sobre graduaciones, esquemas y _algebras lazo que necesitaremos para el resto de la tesis.
El Capítulo 2 está dedicado a las álgebras semisimples las cuales, para nuestro propósito, definimos como sumas directas finitas de ideales simples de dimensión finita. Empezamos dando algunos resultados que relacionan estas álgebras con álgebras lazo. Luego definimos una graduación en el producto de álgebras lazo de álgebras simples y damos una clasificación, salvo isomorfismo, de tales graduaciones. Finalmente, definiendo una graduación en el producto de álgebras graduadas, damos la clasificación de graduaciones finas en álgebras semisimples salvo equivalencia.
En el Capítulo 3 obtenemos las graduaciones en la superálgebra de Jordan de Kac K10. Probamos que, para determinar estas graduaciones, es suficiente obtener las graduaciones, salvo equivalencia e isomorfismo, en K3_K3 donde K3 es la superálgebra de Kaplansky de dimensión 3, la cual es simple (char F 6= 2). Esto sirve como ejemplo de los resultados dados en el Capítulo 2 y serviría como preparación para obtener graduaciones en (C1 C2;􀀀) ya que el proceso es similar.
En el Capítulo 4 recordamos las definiciones de las álgebras de Hurwitz así como la clasificación de las graduaciones en ellas. También probamos un resultado sobre el esquema en grupos de automorfismos de un producto tensorial de álgebras de Cayley que usaremos después para simplificar el cálculo de graduaciones en el producto tensorial de dos _algebras de Cayley.
En el Capítulo 5 determinamos las graduaciones en el producto tensorial de un álgebra de Cayley y un _algebra de Hurwitz (C1 C2;􀀀). Para el caso donde C1 y C2 son álgebras de Cayley empezamos calculando graduaciones en el producto directo de ellas, y para este propósito usamos resultados dados en el Capítulo 2.


Resumen (otro idioma): Gradings by abelian groups on finite-dimensional simple Lie algebras are ubiquitous, starting with the root space decomposition with respect to a Cartan subalgebra in a split simple Lie algebra. The main goal of this thesis is the classification of gradings (by groups) on one of the families of simple structurable algebras: the tensor product of a Cayley algebra and a Hurwitz algebra with the involution being the tensor product of the standard involutions. In the process of obtaining the gradings on the tensor product we found that the problem could be reduced to the problem of finding gradings on the cartesian product. Of course this is not a simple algebra, but a semisimple one, and not much work has been done on gradings on such algebras. With the classification of gradings on semisimple algebras (direct products of simple finite-dimensional algebras) at hand, we could finally complete the sought classification of gradings on the structurable algebras.

Pal. clave: algebras no asociativas

Departamento: Instituto Universitario de Investigación de Matemáticas y Aplicaciones (IUMA)

Nota: Presentado: 14 09 2018
Nota: Tesis-Univ. Zaragoza, Instituto Universitario de Investigación de Matemáticas y Aplicaciones (IUMA), 2018



 Registro creado el 2018-10-19, última modificación el 2018-10-19


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