Repositorio Zaguan - Universidad de Zaragoza 

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000008712 037__ $$aTAZ-TFM-2012-687
000008712 041__ $$aspa
000008712 1001_ $$aAbadias Ullod, Luciano
000008712 24500 $$aAplicaciones de estimaciones de C_0-semigrupos en ecuaciones en derivadas parciales vectoriales
000008712 260__ $$aZaragoza$$bUniversidad de Zaragoza$$c2012
000008712 506__ $$aby-nc-sa$$bCreative Commons$$c3.0$$uhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
000008712 520__ $$aEl principal objetivo de este trabajo es la demostración de desigualdades de funciones reales las cuales son soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Estas ecuaciones diferenciales involucran potencias fraccionarias de operadores. El punto de partida de este trabajo es el artículo de A.Córdoba que aparece en la bibliografía, el cual resumimos en el primer capítulo de esta memoria. Brevemente, dada una función $\theta:\R^n\times\R^+\to\R$ con buenas propiedades de suavidad y que verifica la ecuación $$(\frac{\partial}{\partial t}+u\cdot \nabla)\theta=-k(-\Delta^{\frac{\alpha}{2}})\theta,$$ donde el vector $u$ satisface que $\nabla\cdot u=0$ y $0\leq\alpha\leq 2,$ entonces se cumple la  desigualdad puntual  $$  2 \theta\Lambda ^\alpha \theta (x)\ge \Lambda^\alpha \theta^2(x), \qquad x\in \R^n,  $$ donde $\Lambda=(-\Delta)^{1\over 2}$.  La demostración involucra la representación integral de las potencias fraccionarias del Laplaciano $(-\Delta)$.  Una de las aplicaciones de esta desigualdad es la  obtención de otras desigualdades  en la norma $\lVert \quad\rVert_p$ de la función $\theta$,   $$\lVert \theta(\cdot,t)\rVert_p^p\leq \frac{\lVert \theta_0\rVert_p^p}{(1+\varepsilon Ct\lVert \theta_0\rVert_p^{p\varepsilon})^{\frac{1}{\varepsilon}}},$$  con $1<p<\infty,$  $t\geq 0$ y $\varepsilon=\frac{\alpha}{n(p-1)}.$ Notemos que esta fórmula proporciona el $L^p$-decaimiento en el infinito de la función $\theta$.  En esta memoria  estudiamos si desigualdades del mismo tipo se cumplen para funciones que sean soluciones de ecuaciones similares en las que aparecen otros operadores (generadores de semigrupos). Es bien conocido que el operador de Laplace $(-\Delta)$ es el generador infinitesimal de un $C_0$-semigrupo de operadores (el semigrupo gaussiano) en el espacio de Banach $X=L^p(\R^n)$. En el capítulo tercero presentamos una breve introducción de la teoría de $C_0$-semigrupos. La integración vectorial de Bochner, herramienta básica en el trabajo realizado, se trata brevemente en el capítulo segundo de esta memomia.  Por último, en el cuarto capítulo presentamos los resultados que hemos obtenido  para semigrupos de convolución con valores reales. Estos resultados, en particular, extienden a los presentados en el artículo de A.Córdoba. En un estudio posterior pretendemos  probar resultados análogos para  funciones con valores vectoriales.
000008712 521__ $$aMáster en Iniciación a la Investigación en Matemáticas
000008712 540__ $$aDerechos regulados por licencia Creative Commons
000008712 700__ $$aMiana, Pedro J.$$edir.
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