8712 Zaragoza Universidad de Zaragoza 2012 by-nc-sa Creative Commons 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ Derechos regulados por licencia Creative Commons 565652@celes.unizar.es TAZ TFM CIEN Miana, Pedro J. dir. Universidad de Zaragoza Matemáticas Análisis Matemático Aplicaciones de estimaciones de C_0-semigrupos en ecuaciones en derivadas parciales vectoriales El principal objetivo de este trabajo es la demostración de desigualdades de funciones reales las cuales son soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Estas ecuaciones diferenciales involucran potencias fraccionarias de operadores. El punto de partida de este trabajo es el artículo de A.Córdoba que aparece en la bibliografía, el cual resumimos en el primer capítulo de esta memoria. Brevemente, dada una función $\theta:\R^n\times\R^+\to\R$ con buenas propiedades de suavidad y que verifica la ecuación $$(\frac{\partial}{\partial t}+u\cdot \nabla)\theta=-k(-\Delta^{\frac{\alpha}{2}})\theta,$$ donde el vector $u$ satisface que $\nabla\cdot u=0$ y $0\leq\alpha\leq 2,$ entonces se cumple la desigualdad puntual $$ 2 \theta\Lambda ^\alpha \theta (x)\ge \Lambda^\alpha \theta^2(x), \qquad x\in \R^n, $$ donde $\Lambda=(-\Delta)^{1\over 2}$. La demostración involucra la representación integral de las potencias fraccionarias del Laplaciano $(-\Delta)$. Una de las aplicaciones de esta desigualdad es la obtención de otras desigualdades en la norma $\lVert \quad\rVert_p$ de la función $\theta$, $$\lVert \theta(\cdot,t)\rVert_p^p\leq \frac{\lVert \theta_0\rVert_p^p}{(1+\varepsilon Ct\lVert \theta_0\rVert_p^{p\varepsilon})^{\frac{1}{\varepsilon}}},$$ con $1<p<\infty,$ $t\geq 0$ y $\varepsilon=\frac{\alpha}{n(p-1)}.$ Notemos que esta fórmula proporciona el $L^p$-decaimiento en el infinito de la función $\theta$. En esta memoria estudiamos si desigualdades del mismo tipo se cumplen para funciones que sean soluciones de ecuaciones similares en las que aparecen otros operadores (generadores de semigrupos). Es bien conocido que el operador de Laplace $(-\Delta)$ es el generador infinitesimal de un $C_0$-semigrupo de operadores (el semigrupo gaussiano) en el espacio de Banach $X=L^p(\R^n)$. En el capítulo tercero presentamos una breve introducción de la teoría de $C_0$-semigrupos. La integración vectorial de Bochner, herramienta básica en el trabajo realizado, se trata brevemente en el capítulo segundo de esta memomia. Por último, en el cuarto capítulo presentamos los resultados que hemos obtenido para semigrupos de convolución con valores reales. Estos resultados, en particular, extienden a los presentados en el artículo de A.Córdoba. En un estudio posterior pretendemos probar resultados análogos para funciones con valores vectoriales. Máster en Iniciación a la Investigación en Matemáticas Abadias Ullod, Luciano TAZ-TFM-2012-687 spa oai:zaguan.unizar.es:8712 public TAZ http://zaguan.unizar.es/TAZ/CIEN/2012/8712/TAZ-TFM-2012-687.pdf 425687 Memoria (spa)