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oai:zaguan.unizar.es:8712 2015-03-25
spa Abadias Ullod, Luciano Miana, Pedro J. Aplicaciones de estimaciones de C_0-semigrupos en ecuaciones en derivadas parciales vectoriales http://zaguan.unizar.es/record/8712/files/TAZ-TFM-2012-687.pdf El principal objetivo de este trabajo es la demostración de desigualdades de funciones reales las cuales son soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Estas ecuaciones diferenciales involucran potencias fraccionarias de operadores. El punto de partida de este trabajo es el artículo de A.Córdoba que aparece en la bibliografía, el cual resumimos en el primer capítulo de esta memoria. Brevemente, dada una función $\theta:\R^n\times\R^+\to\R$ con buenas propiedades de suavidad y que verifica la ecuación $$(\frac{\partial}{\partial t}+u\cdot \nabla)\theta=-k(-\Delta^{\frac{\alpha}{2}})\theta,$$ donde el vector $u$ satisface que $\nabla\cdot u=0$ y $0\leq\alpha\leq 2,$ entonces se cumple la desigualdad puntual $$ 2 \theta\Lambda ^\alpha \theta (x)\ge \Lambda^\alpha \theta^2(x), \qquad x\in \R^n, $$ donde $\Lambda=(-\Delta)^{1\over 2}$. La demostración involucra la representación integral de las potencias fraccionarias del Laplaciano $(-\Delta)$. Una de las aplicaciones de esta desigualdad es la obtención de otras desigualdades en la norma $\lVert \quad\rVert_p$ de la función $\theta$, $$\lVert \theta(\cdot,t)\rVert_p^p\leq \frac{\lVert \theta_0\rVert_p^p}{(1+\varepsilon Ct\lVert \theta_0\rVert_p^{p\varepsilon})^{\frac{1}{\varepsilon}}},$$ con $1<p<\infty,$ $t\geq 0$ y $\varepsilon=\frac{\alpha}{n(p-1)}.$ Notemos que esta fórmula proporciona el $L^p$-decaimiento en el infinito de la función $\theta$. En esta memoria estudiamos si desigualdades del mismo tipo se cumplen para funciones que sean soluciones de ecuaciones similares en las que aparecen otros operadores (generadores de semigrupos). Es bien conocido que el operador de Laplace $(-\Delta)$ es el generador infinitesimal de un $C_0$-semigrupo de operadores (el semigrupo gaussiano) en el espacio de Banach $X=L^p(\R^n)$. En el capítulo tercero presentamos una breve introducción de la teoría de $C_0$-semigrupos. La integración vectorial de Bochner, herramienta básica en el trabajo realizado, se trata brevemente en el capítulo segundo de esta memomia. Por último, en el cuarto capítulo presentamos los resultados que hemos obtenido para semigrupos de convolución con valores reales. Estos resultados, en particular, extienden a los presentados en el artículo de A.Córdoba. En un estudio posterior pretendemos probar resultados análogos para funciones con valores vectoriales. 2014-11-27
8712 20150325140119.0 TAZ-TFM-2012-687 spa Abadias Ullod, Luciano Aplicaciones de estimaciones de C_0-semigrupos en ecuaciones en derivadas parciales vectoriales Zaragoza Universidad de Zaragoza 2012 by-nc-sa Creative Commons 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ El principal objetivo de este trabajo es la demostración de desigualdades de funciones reales las cuales son soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Estas ecuaciones diferenciales involucran potencias fraccionarias de operadores. El punto de partida de este trabajo es el artículo de A.Córdoba que aparece en la bibliografía, el cual resumimos en el primer capítulo de esta memoria. Brevemente, dada una función $\theta:\R^n\times\R^+\to\R$ con buenas propiedades de suavidad y que verifica la ecuación $$(\frac{\partial}{\partial t}+u\cdot \nabla)\theta=-k(-\Delta^{\frac{\alpha}{2}})\theta,$$ donde el vector $u$ satisface que $\nabla\cdot u=0$ y $0\leq\alpha\leq 2,$ entonces se cumple la desigualdad puntual $$ 2 \theta\Lambda ^\alpha \theta (x)\ge \Lambda^\alpha \theta^2(x), \qquad x\in \R^n, $$ donde $\Lambda=(-\Delta)^{1\over 2}$. La demostración involucra la representación integral de las potencias fraccionarias del Laplaciano $(-\Delta)$. Una de las aplicaciones de esta desigualdad es la obtención de otras desigualdades en la norma $\lVert \quad\rVert_p$ de la función $\theta$, $$\lVert \theta(\cdot,t)\rVert_p^p\leq \frac{\lVert \theta_0\rVert_p^p}{(1+\varepsilon Ct\lVert \theta_0\rVert_p^{p\varepsilon})^{\frac{1}{\varepsilon}}},$$ con $1<p<\infty,$ $t\geq 0$ y $\varepsilon=\frac{\alpha}{n(p-1)}.$ Notemos que esta fórmula proporciona el $L^p$-decaimiento en el infinito de la función $\theta$. En esta memoria estudiamos si desigualdades del mismo tipo se cumplen para funciones que sean soluciones de ecuaciones similares en las que aparecen otros operadores (generadores de semigrupos). Es bien conocido que el operador de Laplace $(-\Delta)$ es el generador infinitesimal de un $C_0$-semigrupo de operadores (el semigrupo gaussiano) en el espacio de Banach $X=L^p(\R^n)$. En el capítulo tercero presentamos una breve introducción de la teoría de $C_0$-semigrupos. La integración vectorial de Bochner, herramienta básica en el trabajo realizado, se trata brevemente en el capítulo segundo de esta memomia. Por último, en el cuarto capítulo presentamos los resultados que hemos obtenido para semigrupos de convolución con valores reales. Estos resultados, en particular, extienden a los presentados en el artículo de A.Córdoba. En un estudio posterior pretendemos probar resultados análogos para funciones con valores vectoriales. Máster en Iniciación a la Investigación en Matemáticas Derechos regulados por licencia Creative Commons Miana, Pedro J. dir. Universidad de Zaragoza Matemáticas Análisis Matemático 565652@celes.unizar.es 425687 http://zaguan.unizar.es/record/8712/files/TAZ-TFM-2012-687.pdf Memoria (spa) oai:zaguan.unizar.es:8712 trabajos-fin-master driver TAZ TFM CIEN URI http://zaguan.unizar.es/record/8712 SUPPORTED 0 MD5 http://zaguan.unizar.es/record/8712/files/TAZ-TFM-2012-687.md5 0 image/x.djvu 6 http://djvu.sourceforge.net/abstract.html DJVU/6 Profile information Lizardtech Document Express Enterprise 5.1 0 URI http://zaguan.unizar.es/record/8712/files/TAZ-TFM-2012-687.pdf disk Minimum View Print Visualization of DJVU requires specific software, like DjVu Browser Plugin URI http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0 URI http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0 license URI http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0 You are free to adapt, copy, transmite or distribute the work under the following conditions: (1) You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). (2) You may not use this work for commercial purposes (3) For any reuse or distribution, you must make clear to others the license terms of this work (4) Any of the above conditions can be waived if you get permission from the copyright holder (5) Nothing in this license impairs or restricts the author's moral rights This object is licensed under Creative Common Attribution-NonCommercial 3.0 (further details: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/). Universidad de Zaragoza Automatizacion de Bibliotecas Edif. Matematicas, Pedro Cerbuna 12, 50009 Zaragoza auto.buz@unizar.es