Cálculo del número exacto de primos menores que x. El método de Mapes.

Pita Forrier, Philip
Frances Román, Ángel Ramón (dir.) ; Bernués Pardo, Julio (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2022
Matemáticas department,

Graduado en Matemáticas

Abstract: En este trabajo se estudia la cantidad exacta de números primos menores o iguales a x, denotada por pi(x).
En el Capítulo 1 se estudian propiedades elementales sobre la distribución de los números primos. Se demuestra que pueden expresarse formulaciones alternativas al Teorema de los Números Primos mediante las funciones psi(x) y theta(x) de Chebyshev. Además, se obtiene una expresión asintótica para las sumas parciales de la serie de los recíprocos de los primos.
En el Capítulo 2 se construye el Método de Mapes, que permite calcular de forma exacta pi(x) conociendo cierta cantidad de primos. Para ello, se introducen otros métodos, como la criba de Eratóstenes o la fórmula de Legendre. Este último depende de un término conocido como suma de Legendre, para el cual se obtendrá una fórmula explícita. También se introducen los métodos de Meissel y Lehmer, que mejoran el coste en tiempo respecto al método de Legendre. Más adelante, explotando ciertas propiedades de la suma de Legendre y mediante una fórmula derivada del método de Lehmer, se da un método para calcular de forma eficiente bajo ciertas condiciones la suma de Legendre. Por último, se desarrolla el método de Mapes, que mediante la asocicación unívoca de cada término de la suma de Legendre con un índice, permite calcularla descomponiéndola en términos que cumplan las condiciones mencionadas anteriormente.
Además, el método de Mapes ha sido implementado en Java y se ha obtenido una tabla de primos con él.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado