Teoría de distribuciones y aplicaciones

Laín Sanclemente, Andrés
Galé Gimeno, José Esteban (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2022
Departamento de Matemáticas, Área de Análisis Matemático

Programa conjunto en Física-Matemáticas

Resumen: En el estudio de ecuaciones diferenciales y análisis matemático en general, así como en Física, aparecen de forma natural objetos matemáticos que no son funciones, pero que requieren de cálculos y operaciones como si lo fueran. Genéricamente, reciben el nombre de funciones generalizadas y en este contexto destaca por su alcance la Teoría de Distribuciones. No obstante, en la práctica, y en varios campos, esta teoría se aplica de modo algo superficial, sólo reparando en reglas formales de uso. En esta memoria se procede a mostrar, en su primera mitad, una parte significativa de la configuración intrínseca de las distribuciones para, en su segunda fase, aplicar la maquinaria resultante de tal configuración a diversos ejemplos notables tomados de la teoría de ecuaciones y de la Física.
En el presente trabajo, se lleva a cabo la descripción estructural de las distribuciones sobre la base de la teoría de espacios localmente convexos y del concepto de límite inductivo, junto con la noción de dualidad como elemento clave que permite trasladar operaciones sobre funciones a distribuciones (diferenciación, multiplicación, convolución (parcialmente) y transformadas de Fourier y Laplace). En segundo lugar, se exponen aplicaciones en la resolución de ecuaciones diferenciales de la Física
Matemática, en Mecánica Cuántica y en Teoría Cuántica de Campos. A causa de la limitación de espacio, la teoría se centra especialmente en los resultados que luego serán explícitamente utilizados en las aplicaciones mencionadas.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado