Un principio local-global: el Teorema de Hasse-Minkowski

Arbeloa Larraz, Silvia
de Vera Piquero, Carlos (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2023
Departamento de Matemáticas,

Graduado en Matemáticas

Resumen: El objetivo del trabajo es enuncia y demostrar el Teorema de Hasse-Minkowski para formas cuadráticas, uno de los ejemplos más destacados de "principio local-global" en teoría de números. En el caso de formas cuadráticas de dos variables sobre el cuerpo Q de los número racionales, afirma que si f(x,y) es una forma cuadrática con coeficientes en Q, entonces la ecuación f(x,y)=0 admite soluciones no trivial en los racionales si y solo si la ecuación f(x,y)=0 admite solución no trivial en todas las competiciones del cuerpo de los racionales (esto es, en el cuerpo R de los números reales y en los cuerpos de los números p-ádicos, Q_p para cada primo p).
Puesto que Q es un subcuerpo de R y de Q_p, para todo primo p, una dirección del teorema es obvia. Es precisamente la otra dirección la que constituye el principio local-global: propiedades locales sobre la forma cuadrática f(x,y) implican una propiedad global sobre f(x,y).
Una parte preliminar del trabajo, previa a la demostración del teorema, consistirás en la definición y estudio de los números p-ádicos, así como algunas propiedades básicas de los cuerpos Q_p. El trabajo también incluirá ejemplos detallados y contraejemplos que muestran como el mismo principio local-global no se cumple para ecuaciones de grado superior.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado