| TAZ-TFG-2023-2677 |
Origami: una perspectiva geométrica y combinatoria
Gacías Franco, Jesús
Artal Bartolo, Enrique (dir.) ; Iranzo Sanz, José Ángel (dir.)
Universidad de Zaragoza,
CIEN,
2023
Graduado en Matemáticas
Resumen: El arte del origami (del japonés "oru", "plegar" y "kami", "papel") es una técnica mediante la cual una hoja de papel es curvada y plegada de una cierta forma para crear estructuras, llamadas modelos o figuras de origami, generalmente con intención artística. La relación entre el origami y la geometría puede parecer obvia, ya que se manifiestan estructuras geométricas de forma natural como resultado de deformaciones en el espacio (cilindros, conos) o presionando el papel contra una superficie plana (líneas rectas), lo que se conoce como plegado plano. Los principales objetivos de este trabajo de fin de grado son, primero, generalizar las ideas de base que definen el origami a una familia más amplia de variedades, y segundo, revisar algunos de los teoremas más conocidos del plegado plano desde una perspectiva combinatoria y topológica. Esperamos brindar al lector un mayor entendimiento de las propiedades fundamentales del origami y las nociones matemáticas correspondientes.
Tomamos subvariedades de R^{n+1} conexas y orientables de dimensión n como las hojas de papel P en las cuales los origamis —aplicaciones continuas de P al espacio ambiente R^{n+1}— deben estar definidas. Ya que deseamos incluir pliegues en nuestra definición de origamis, permitimos que estas aplicaciones sean C^{k)} estratificadas, y llamamos a todos los puntos en los que la diferenciabilidad falla el conjunto de pliegues. Asumimos que dicho conjunto es una unión de variedades de dimensión menor. Aún más, estas aplicaciones vienen definidas de manera recursiva, ya que un pliegue de una cierta dimensión puede a su vez tener pliegues de dimensiones menores.
Los origamis deben satisfacer una serie de condiciones, principalmente, que el papel no se rasgue, encoja o expanda, y que no se cruce consigo mismo, aunque permitamos superposiciones. La primera condición no puede ser reducida a una isometría local, ya que la imagen de un origami no es necesariamente una variedad, ni todo origami es localmente inyectivo. Puede ser establecida de dos formas, que probamos que son equivalentes: preservación de la distancia intrínseca de dos puntos cualesquiera antes y después del plegado (donde en la imagen, solo las curvas que se despliegan a curvas en P son consideradas) o una isometría local en los puntos sin pliegues junto con esta misma condición aplicada recursivamente al conjunto de pliegues.
La segunda condición, el no atravesamiento, no puede ser determinada en general cuando solo se dispone de la información de la aplicación f. Esto se debe a que si varios trozos de papel acaban en el mismo sitio, los cruces dependerán en general de qué capa de papel está "por encima" de la otra. Definimos un nuevo concepto, las funciones de orden de capas, que lidian con este problema, e imponemos condiciones en ellas para prohibir los cruces. Las funciones de orden de capas son, en un sentido, un objeto combinatorio que ha de ser dado para describir completamente el plegado. Terminamos la sección de formalización del origami discutiendo una condición isotópica en términos generales.
En la segunda parte del trabajo, centramos nuestra atención en el plegado plano: el plegado de una hoja de papel plana y bidimensional de forma que el modelo final también sea plano. Establecemos primero el hecho intuitivo de que todos los pliegues han de ser líneas rectas, y que no pueden representar otra cosa que no sean simetrías. Esto nos permite describir parcialmente los origamis planos como patrones de plegado: segmentos orientados que nos indican dónde plegar y en qué dirección, llamados pliegues valle y montaña.
El principal problema en el plegado plano es decidir si un patrón de plegado puede ser plegado plano. Pese a ser NP-duro, hay un número de condiciones necesarias que los patrones de plegado planos deben verificar. La mayoría surgen de un teorema dado por Jacques Justin en "Towards a mathematical theory of origami" que rara vez es mencionado en la literatura. Damos una demostración completa de él y mostramos cómo utiliza varias nociones de teoría de nudos para, en esencia, dar una condición sin la cual el papel se retorcería de modos imposibles. Aún más, la ecuación que presenta Justin es un excelente ejemplo de la mezcla entre la geometría (ángulos) y combinatoria (orientación de pliegues) hallado en el origami. De aquí, probamos los tres principales resultados en plegado plano: el teorema de Kawasaki, el teorema de Maekawa y el lema Big-Little-Big. Las demostraciones de los dos últimos están inspiradas por el enfoque de Justin y, según cree el autor de esta memoria, son originales. Acabamos mencionando brevemente problemas relacionados con el plegado plano que fortalecen ciertas hipótesis en aras de simplificar el problema, con mayor o menor éxito.
Tomamos subvariedades de R^{n+1} conexas y orientables de dimensión n como las hojas de papel P en las cuales los origamis —aplicaciones continuas de P al espacio ambiente R^{n+1}— deben estar definidas. Ya que deseamos incluir pliegues en nuestra definición de origamis, permitimos que estas aplicaciones sean C^{k)} estratificadas, y llamamos a todos los puntos en los que la diferenciabilidad falla el conjunto de pliegues. Asumimos que dicho conjunto es una unión de variedades de dimensión menor. Aún más, estas aplicaciones vienen definidas de manera recursiva, ya que un pliegue de una cierta dimensión puede a su vez tener pliegues de dimensiones menores.
Los origamis deben satisfacer una serie de condiciones, principalmente, que el papel no se rasgue, encoja o expanda, y que no se cruce consigo mismo, aunque permitamos superposiciones. La primera condición no puede ser reducida a una isometría local, ya que la imagen de un origami no es necesariamente una variedad, ni todo origami es localmente inyectivo. Puede ser establecida de dos formas, que probamos que son equivalentes: preservación de la distancia intrínseca de dos puntos cualesquiera antes y después del plegado (donde en la imagen, solo las curvas que se despliegan a curvas en P son consideradas) o una isometría local en los puntos sin pliegues junto con esta misma condición aplicada recursivamente al conjunto de pliegues.
La segunda condición, el no atravesamiento, no puede ser determinada en general cuando solo se dispone de la información de la aplicación f. Esto se debe a que si varios trozos de papel acaban en el mismo sitio, los cruces dependerán en general de qué capa de papel está "por encima" de la otra. Definimos un nuevo concepto, las funciones de orden de capas, que lidian con este problema, e imponemos condiciones en ellas para prohibir los cruces. Las funciones de orden de capas son, en un sentido, un objeto combinatorio que ha de ser dado para describir completamente el plegado. Terminamos la sección de formalización del origami discutiendo una condición isotópica en términos generales.
En la segunda parte del trabajo, centramos nuestra atención en el plegado plano: el plegado de una hoja de papel plana y bidimensional de forma que el modelo final también sea plano. Establecemos primero el hecho intuitivo de que todos los pliegues han de ser líneas rectas, y que no pueden representar otra cosa que no sean simetrías. Esto nos permite describir parcialmente los origamis planos como patrones de plegado: segmentos orientados que nos indican dónde plegar y en qué dirección, llamados pliegues valle y montaña.
El principal problema en el plegado plano es decidir si un patrón de plegado puede ser plegado plano. Pese a ser NP-duro, hay un número de condiciones necesarias que los patrones de plegado planos deben verificar. La mayoría surgen de un teorema dado por Jacques Justin en "Towards a mathematical theory of origami" que rara vez es mencionado en la literatura. Damos una demostración completa de él y mostramos cómo utiliza varias nociones de teoría de nudos para, en esencia, dar una condición sin la cual el papel se retorcería de modos imposibles. Aún más, la ecuación que presenta Justin es un excelente ejemplo de la mezcla entre la geometría (ángulos) y combinatoria (orientación de pliegues) hallado en el origami. De aquí, probamos los tres principales resultados en plegado plano: el teorema de Kawasaki, el teorema de Maekawa y el lema Big-Little-Big. Las demostraciones de los dos últimos están inspiradas por el enfoque de Justin y, según cree el autor de esta memoria, son originales. Acabamos mencionando brevemente problemas relacionados con el plegado plano que fortalecen ciertas hipótesis en aras de simplificar el problema, con mayor o menor éxito.
Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado
Notas: Resumen disponible también en inglés. Anexos incluidos en la memoria.
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