Grupos de homotopía de orden superior

Altuzarra Goñi, Eduardo
Lozano Rojo, Álvaro (dir.) ; Villacampa Gutiérrez, Raquel (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024

Graduado en Matemáticas

Resumen: Uno de los principales objetivos de la topología es la clasificación de espacios salvo homeomorfismo, es decir, dos espacios $X$ e $Y$ se considerarán iguales si existe una función $f:X\rightarrow Y$ continua, biyectiva y de inversa continua. Esta idea permite enfocarse en las propiedades de los espacios que permanecen invariantes bajo deformaciones continuas. Sin embargo, en muchos casos, esta idea resulta muy restrictiva para el análisis de los espacios topológicos. Por ello, se han introducido herramientas más flexibles como la homotopía que permiten clasificar los espacios de una manera menos restrictiva pero igual de útil.
Con el fin de diferenciar espacios, una de las herramientas más utilizadas es la rama llamada topología algebraica. La idea detrás de esta rama es el asociar estructuras algebraicas a cada espacio topológico y de manera similar las funciones continuas entre espacios llevan asociadas homomorfismos entre estas estructuras algebraicas. Esta relación entre la topología y el álgebra permite el estudio de las propiedades geométricas de los espacios con herramientas algebraicas. Uno de estos invariantes asociados a los espacios topológicos son los grupos de homotopía que se desarrollarán en este trabajo.
Cómo su propio nombre sugiere el concepto de homotopía juega un papel fundamental en el estudio de los grupos de homotopía. De una manera intuitiva, el concepto de homotopía se podría definir como el estudio de las deformaciones continuas. Dos objetos, como espacios o funciones, se considerarán equivalentes si uno se puede deformar continuamente en el otro.
A partir de esta noción se define el grupo fundamental el cual se construye a partir de el estudio de lazos sobre un espacio topológico. Un lazo es una función continua $f:I\rightarrow X$ que comienza y acaba en el mismo punto. Dos lazos se consideran equivalentes si uno se puede deformar continuamente el uno en el otro. Con esto, se define el conjunto de clases de equivalencia mediante homotopía de lazos. A este conjunto se le induce una estructura de grupo gracias a la operación <<concatenación de lazos>> la cual consiste en recorrer consecutivamente un lazo tras otro.
La idea de los caminos y el grupo fundamental se puede generalizar a dimensiones superiores definiendo así los grupos de homotopía de órdenes superiores. Estos grupos se definen mediante las clases de homotopía no de lazos, si no de funciones definidas sobre el cubo unidad $I^n$ las cuales envían la frontera del dominio a un mismo punto. De la misma manera se generaliza la operación <<concatenación de lazos>> definiendo así una estructura de grupo en estos nuevos conjutnos.
Además de estos grupos, existe una generalización muy útil de los mismo, los grupos de homotopía relativos. Quizás la mayor utilidad de estos grupos viene dada por que se pueden introducir en una sucesión exacta relacionando así los grupos de homotopía de diferentes órdenes.
Con estas herramientas se calcularán los grupos de homotopía de diferentes órdenes de algunos espacios, principalmente esferas. Este cálculo nos permitirá, entre otras cosas, diferenciar espacios, los cuales no son sencillos de diferenciar mediante sus propiedades topológicas elementales como, por ejemplo, $\RR^n$ y $\RR^m$ para $n\neq m$.
Finalmente se estudiarán las fibraciones, unas estructuras que permiten descomponer espacios complejos en componentes más sencillas con el objetivo de calcular el tercer grupo de homotopía de $\SSS^2$. Este cálculo se realizará mediante el análisis de la fibración de Hopf, un ejemplo que conecta los grupos de homotopía de las esferas $\SSS^1$, $\SSS^3$ y $\SSS^2$.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado