Grupos de Artin de ángulo recto

Cuesta Cocera, Javier
Martínez Pérez, Concepción María (dir.) ; Escartín Ferrer, Marcos (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024
Departamento de Matemáticas, Área de Algebra

Graduado en Matemáticas

Resumen: Los grupos son un concepto que se introducen en álgebra a menudo como instrumento para estudiar las propiedades de otros objetos como por ejemplo las permutaciones y ofrecer herramientas como los teoremas de isomorfía. Si en lugar de pensar en los grupos como un medio, nos centramos en sus propiedades, descubriremos las relaciones entre unos grupos y otros. En el primer capítulo se abordará la noción de grupo libre y cómo se puede usar para describir otros grupos.
Habitualmente en el estudio de una materia los resultados están delimitados por las herramientas disponibles, lo cual en ocasiones puede ser un inconveniente. Dentro de las matemáticas algunas demostraciones se basan en resultados procedentes de otras áreas por su versatilidad y eficacia. Podemos imaginar la relación existente entre el álgebra y la topología. En el presente trabajo se unen el álgebra y la teoría de la computación para resolver eficientemente el llamado problema de la palabra. En el segundo capítulo, buscaremos una representación de los grupos que nos permita extraer propiedades para resolver el problema de la palabra con un algoritmo general.
Proseguiremos con la teoría de Bass Serre, que emplea el grupo fundamental de un grafo de grupos para relacionar las acciones de los grupos sobre los árboles con la descomposición de grupos basada en el producto libre amalgamado y las extensiones HNN, aunque solo veremos una versión simplificada sin esta última noción. Se trata de una herramienta poderosa que nos conducirá a probar que todo subgrupo de un grupo libre es libre de una manera directa en comparación al argumento original de Nielsen–Schreier.
El algoritmo general mencionado para el problema de la palabra es de carácter teórico al no resultar muy útil en la práctica. Por ello, el último capítulo está dedicado a la búsqueda de un algoritmo eficiente para resolver el problema de la palabra aplicado a RAAGs. Con este objetivo, se trabajará con sistemas de Thue para deducir propiedades que serán aplicables a un RAAG a partir de la identificación de ambos vía una relación de equivalencia. Finalmente se llegará a un algoritmo de coste lineal en la longitud de la entrada utilizando un autómata de pila.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado