| TAZ-TFG-2024-2539 |
Aproximación mediante polinomios de Bernstein deterministas y aleatorios.
Abardía Serrano, Miguel
Adell Pascual, José Antonio (dir.)
Universidad de Zaragoza,
CIEN,
2024
Graduado en Matemáticas
Resumen: El objeto central del trabajo es el estudio de los polinomios de Bernstein tanto deterministas como aleatorios. Los operadores lineales positivos son uno de los métodos de aproximación de funciones más estudiados. Uno de los ejemplos más importantes son los polinomios de Bernstein.
Son muchos los usos de los polinomios de Bernstein, en economía, para modelizar mercados, en ingeniería forestal para replantar árboles, para el cálculo de órbitas de satélites, en medicina para modelizar el ritmo cardiaco... pero uno de los usos más trascendentes en matemáticas es su utilización para demostrar de forma constructiva el teorema de aproximación de Weierstrass, según el cual toda función continua en un compacto se puede aproximar uniformemente mediante polinomios.
Los polinomios de Bernstein sirvieron como base para aplicar métodos probabilísticos en la aproximación mediante operadores lineales positivos.
Se pretende demostrar que estos polinomios son un ejemplo paradigmático de operadores lineales de aproximación y extender la representación probabilística de los polinomios de Bernstein a través de procesos empíricos, a otros operadores lineales usuales.
Estudiamos la velocidad de convergencia de los polinomios de Bernstein respecto a distintos módulos de continuidad.
Finalmente, presentamos variantes estocásticas de los polinomios clásicos de Bernstein asociados a una función continua f, creadas a partir de un arreglo triangular de nodos aleatorios. Analizamos la convergencia uniforme en probabilidad del proceso de aproximación que representan, proporcionando además las velocidades de convergencia. Cuando los nodos aleatorios son los estadísticos ordenados de una muestra de variables aleatorias uniformes, se dará una respuesta positiva a una conjetura planteada por Wu y Zhou, sobre una tasa exponencial de convergencia en probabilidad.
Este trabajo pretende así ofrecer una visión integral de los polinomios de Bernstein, mostrando tanto sus aplicaciones deterministas como sus versiones estocásticas, y proporcionando herramientas útiles para futuras investigaciones en el campo de la aproximación de funciones.
Son muchos los usos de los polinomios de Bernstein, en economía, para modelizar mercados, en ingeniería forestal para replantar árboles, para el cálculo de órbitas de satélites, en medicina para modelizar el ritmo cardiaco... pero uno de los usos más trascendentes en matemáticas es su utilización para demostrar de forma constructiva el teorema de aproximación de Weierstrass, según el cual toda función continua en un compacto se puede aproximar uniformemente mediante polinomios.
Los polinomios de Bernstein sirvieron como base para aplicar métodos probabilísticos en la aproximación mediante operadores lineales positivos.
Se pretende demostrar que estos polinomios son un ejemplo paradigmático de operadores lineales de aproximación y extender la representación probabilística de los polinomios de Bernstein a través de procesos empíricos, a otros operadores lineales usuales.
Estudiamos la velocidad de convergencia de los polinomios de Bernstein respecto a distintos módulos de continuidad.
Finalmente, presentamos variantes estocásticas de los polinomios clásicos de Bernstein asociados a una función continua f, creadas a partir de un arreglo triangular de nodos aleatorios. Analizamos la convergencia uniforme en probabilidad del proceso de aproximación que representan, proporcionando además las velocidades de convergencia. Cuando los nodos aleatorios son los estadísticos ordenados de una muestra de variables aleatorias uniformes, se dará una respuesta positiva a una conjetura planteada por Wu y Zhou, sobre una tasa exponencial de convergencia en probabilidad.
Este trabajo pretende así ofrecer una visión integral de los polinomios de Bernstein, mostrando tanto sus aplicaciones deterministas como sus versiones estocásticas, y proporcionando herramientas útiles para futuras investigaciones en el campo de la aproximación de funciones.
Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado
Enlace permanente:
El registro pertenece a las siguientes colecciones:
Trabajos académicos > Trabajos Académicos por Centro > Facultad de Ciencias
Trabajos académicos > Trabajos fin de grado