000152797 001__ 152797 000152797 005__ 20250401114425.0 000152797 037__ $$aTAZ-TFG-2024-2400 000152797 041__ $$aspa 000152797 1001_ $$aRos Corpas, Marta 000152797 24200 $$aThe space where fractals live. 000152797 24500 $$aEl espacio donde viven los fractales. 000152797 260__ $$aZaragoza$$bUniversidad de Zaragoza$$c2024 000152797 506__ $$aby-nc-sa$$bCreative Commons$$c3.0$$uhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ 000152797 520__ $$aLa R.A.E. define fractal como “Objeto geométrico en el que una misma estructura, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas y tamaño”. El concepto de fractal fue introducido por primera vez por el matemático Benoit B. Mandelbrot en 1970. Sus estudios causaron un gran impacto gracias a la capacidad de dichos objetos para modelar y representar estructuras complejas y autoseme- jantes, siendo utilizados en numerosas aplicaciones innovadoras en diversas disciplinas. En los últimos años, los fractales han cobrado mayor importancia no solo por su aportación en el área de las matemá- ticas, sino también por su gran relevancia para el estudio de diversos campos de la ciencia, como han explicado National Geographic o BBVA, con aplicaciones tan diversas como antenas fractales, la arquitectura patológica de tumores, el estudio de redes neuronales y conexiones, y el tratamiento de datos.<br />En el presente Trabajo Fin de Grado se pretende proporcionar un marco teórico para estos objetos matemáticos con el fin de comprender mejor cómo se pueden generar, sus propiedades y su comporta- miento.<br />El objetivo del primer capítulo es estudiar y analizar el espacio donde “viven” los fractales. Para presentar el espacio de los subconjuntos compactos de Rn, o más generalmente de un espacio métrico conocido como el espacio de Hausdorff, introduciremos la distancia de Hausdorff, veremos las propie- dades que tiene que satisfacer para ser un espacio métrico y que efectivamente lo es. Además, demostra- remos que el espacio de Hausdorff es completo, una de las demostraciones más importantes del trabajo, apoyándonos en el lema de extensión de sucesiones de Cauchy.<br />Una vez conocido el espacio, veremos cómo crear en él nuestros objetos de estudio. A lo largo del segundo capítulo estudiaremos la generación de fractales como puntos fijos de aplicaciones que cumplen una serie de requisitos. Empezaremos caracterizando las aplicaciones contractivas, estudiando la exis- tencia y unicidad del punto fijo de dichas aplicaciones en espacios métricos completos, con el conocido Teorema del punto fijo de Banach, y presentaremos una serie de lemas necesarios para introducir las funciones que nos interesan, los sistemas iterativos de funciones conocidos como IFS. Estos últimos son un conjunto de funciones cuyo punto fijo, llamado atractor, es el fractal que queremos hallar. A medida que estudiemos las propiedades y características de estas funciones, las ilustraremos con ejemplos, todos ellos realizados aplicando el algoritmo determinista que introduciremos posteriormente junto al proba- bilístico para finalizar el capítulo. Los códigos utilizados para la realización de los gráficos en Matlab se encuentran incorporados en los anexos.<br />Pero los fractales tienen otra peculiaridad: su dimensión. Por último, hemos dedicado el tercer capí- tulo a estudiarla. Para poder introducir la noción de dimensión, necesitábamos unos conceptos previos como el de diámetro de un conjunto y la medida exterior métrica. Así, hemos podido comprobar que la medida s-dimensional de Hausdorff es una medida exterior métrica y, por tanto, su restricción a los conjuntos de Borel es una medida, que además se comporta muy bien con las aplicaciones Lipschitz. Gracias a ello, hemos podido presentar la dimensión de Hausdorff-Besicovich. Al igual que en el capítu- lo anterior, hemos presentado varios lemas y propiedades para el cálculo de la dimensión, ilustrándolos con ejemplos. Luego, aplicando el último teorema, hemos calculado la dimensión de varios fractales importantes como el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Koch. Para finalizar el trabajo, hemos incorporado otra noción de dimensión, la dimensión caja, y hemos analizado varios casos, uno donde coincide con la de Hausdorff-Besicovich y otro donde no.<br />Mi tarea durante la realización de este trabajo ha consistido en realizar una revisión bibliográfica, reescribir y completar pruebas, comprender resultados y demostraciones, e ir aplicando a ejemplos los teoremas presentados, con el fin de proporcionar un marco teórico para los fractales, comprender sus propiedades y saber aplicar los resultados en ejemplos concretos. A su vez, para la realización de dichos ejemplos, he trabajado en programas de Matlab para poder representarlos gráficamente aplicando los algoritmos presentados en el capítulo 2.<br /><br /> 000152797 521__ $$aGraduado en Matemáticas 000152797 540__ $$aDerechos regulados por licencia Creative Commons 000152797 691__ $$a0 000152797 692__ $$a 000152797 700__ $$aGarcía Lirola, Luis Carlos$$edir. 000152797 7102_ $$aUniversidad de Zaragoza$$b $$c 000152797 8560_ $$f707976@unizar.es 000152797 8564_ $$s4321892$$uhttps://zaguan.unizar.es/record/152797/files/TAZ-TFG-2024-2400.pdf$$yMemoria (spa) 000152797 909CO $$ooai:zaguan.unizar.es:152797$$pdriver$$ptrabajos-fin-grado 000152797 950__ $$a 000152797 951__ $$adeposita:2025-04-01 000152797 980__ $$aTAZ$$bTFG$$cCIEN 000152797 999__ $$a20240611120709.CREATION_DATE