Dissertation/Thesis Tesis de la Universidad de Zaragoza Mahillo Cazorla, Alejandro Miana Sanz, Pedro José Abadías Ullod, Luciano Spectral and Asymptotic Properties of Operator Semigroups 2254-7606 2025-266 El estudio de los sistemas dinámicos proporciona un marco fundamental para analizar procesos dependientes del tiempo en matemáticas y física. Un sistema dinámico se define formalmente como una familia de semigrupos de operadores (fuertemente continuos) \((T(t))_{t \geq 0}\). Tales semigrupos surgen de manera natural al resolver Problemas de Cauchy Abstractos (ACP, por sus siglas en inglés) de la forma \(u'(t) = Au(t)\), donde \(A\) es un operador lineal. La buena formulación de los ACP está caracterizada por el teorema de Hille-Yosida, que vincula la generación de semigrupos fuertemente continuos con estimaciones del resolvente de \(A\). El comportamiento cualitativo de las soluciones se analiza mediante la teoría espectral, como lo ejemplifica el teorema de Estabilidad de Liapunov, que relaciona la estabilidad de los semigrupos con las propiedades espectrales de sus generadores. Estos teoremas ilustran la profunda conexión entre las propiedades espectrales del generador y el comportamiento asintótico de los semigrupos fuertemente continuos.<br />En el Capítulo 1, introducimos los operadores de Catalan, que surgen como soluciones de la ecuación cuadrática \(AY^2 - Y + I = 0\), donde \(A\) es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. Este operador se expresa como una integral de Bochner, y el cálculo funcional de Hille-Phillips nos permite derivar algunas propiedades espectrales de estos operadores. Concluimos con varios ejemplos.<br />En el Capítulo 2, estudiamos propiedades espectrales finas del operador de Cesàro-Hardy en \(L^2[0,1]\) y de matrices de Hausdorff definidas sobre los espacios de funciones analíticas \(BMOA\) y Bloch. Las técnicas presentadas en este capítulo consisten en representar estos operadores como integrales mediante una subordinación de un semigrupo fuertemente continuo. Este enfoque permite aplicar el cálculo funcional para operadores sectoriales, lo que nos permite transferir propiedades espectrales del generador infinitesimal al propio operador. Como aplicación, para el operador de Cesàro-Hardy en \(L^2[0,1]\), demostramos que las traslaciones del semigrupo son operadores universales en el sentido de Rota, un concepto estrechamente relacionado con el Problema del Subespacio Invariante. Además, estudiamos algunos subespacios invariantes mínimos cerrados de este semigrupo y proporcionamos una caracterización.<br />En el Capítulo 3, establecemos caracterizaciones de los espacios de Besov discretos en términos de los semigrupos de calor y de Poisson asociados al laplaciano discreto. Estos resultados nos permiten demostrar propiedades de regularidad para las potencias fraccionarias del laplaciano discreto y los potenciales de Bessel discretos. Adicionalmente, proporcionamos nuevas estimaciones para las derivadas del núcleo de calor discreto y del semigrupo, las cuales son de interés independiente.<br />Finalmente, en el Capítulo 4, exploramos una generalización de las bien conocidas condiciones de Kreiss y Ritt, que surgen en el análisis de estabilidad de métodos de diferencias finitas para EDP. Introducimos una nueva clase de operadores \((\alpha, \beta)\)-RK, que conectan los operadores de Kreiss y Ritt. Estudiamos propiedades geométricas del espectro y derivamos estimaciones para las normas de potencias y las normas de diferencias de potencias.<br /> eng análisis y análisis funcional; Universidad de Zaragoza, Prensas de la Universidad Zaragoza 2025 2025

http://zaguan.unizar.es/record/162687/files/TESIS-2025-267.pdf;

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