Cálculos precisos con algunas clases de matrices

Orera Hernández, Héctor
Peña Ferrández, Juan Manuel (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2016
Departamento de Matemática Aplicada, Área de Matemática Aplicada

Graduado en Matemáticas

Resumen: El problema de controlar el error de redondeo es fundamental en análisis numérico. Un análisis del error clásico depende del condicionamiento del problema y un enfoque novedoso en este tema radica en considerar algoritmos con alta precisión relativa. En particular, para cálculos con clases de matrices estructuradas. En estos algoritmos se parte de parametrizaciones de las matrices que permiten asegurar la alta precisión relativa independientemente del condicionamiento de las mismas. Hasta ahora, los ejemplos de clases de matrices encontrados que presentan esta ventaja son o están relacionados con subclases de las P-matrices. Recordemos que una P-matriz es una matriz cuadrada con todos los menores principales positivos. En este documento recopilamos parametrizaciones adecuadas para dos subclases de las P-matrices que destacan por sus muchas aplicaciones: las matrices totalmente positivas no singulares y las M-matrices no singulares. Presentamos la factorización bidiagonal y la eliminación de Neville, ambas herramientas fundamentales para realizar cálculos con alta precisión relativa al trabajar con una matriz totalmente positiva, e ilustramos como emplear la parametrización dada por la factorización bidiagonal para llevar a cabo diversos cálculos matriciales de forma precisa. Los cálculos que describimos son la base necesaria para la obtención de inversas y valores propios y singulares de estas matrices asegurando la alta precisión relativa. En el caso de las M-matrices no singulares, presentamos algoritmos con alta precisión relativa cuando éstas además cumplen la condición de dominancia diagonal. Podemos calcular los valores singulares de estas matrices apoyándonos en la descomposición LDU obtenida utilizando eliminación Gaussiana con las llamadas técnicas de pivotaje simétrico. Además, presentamos algoritmos con alta precisión relativa para las Z-matrices Nekrasov con elementos diagonales positivos, las cuales constituyen una clase de matrices para las que hasta ahora no había algoritmos con alta precisión relativa. Para dicha clase de matrices se propone una parametrización a partir de la cual se obtienen algoritmos con alta precisión relativa para el cálculo de inversas y para el cálculo de sistemas de ecuaciones lineales con términos independientes no negativos.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado