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000087419 041__ $$aeng
000087419 1001_ $$ade Lorenzo Poza, Eduardo
000087419 24200 $$aDiagonalizable algebraic groups and gradings on algebras
000087419 24500 $$aGrupos algebraicos diagonalizables y graduaciones en álgebras
000087419 260__ $$aZaragoza$$bUniversidad de Zaragoza$$c2019
000087419 500__ $$aResumen disponible en inglés y en español.
000087419 506__ $$aby-nc-sa$$bCreative Commons$$c3.0$$uhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
000087419 520__ $$aLos grupos algebraicos son el análogo algebraico a los grupos de Lie de la geometría diferencial. No cabe duda pues, de que el estudio de estos objetos, entre los que se encuentran grupos tan conocidos como los grupos clásicos de matrices, es del mayor interés. Siguiendo la línea marcada por Grothendieck, los matemáticos se dieron cuenta hace algún tiempo de que era posible comprender estos objetos fijándose en la estructura de los morfismos entre ellos. Tanto es así que en este trabajo presentamos una descripción totalmente funtorial de los mismos, sin apelar directamente a la geometría en ningún momento. Esto nos permite comenzar a trabajar con grupos algebraicos sin tener que tratar primero con nociones de geometría algebraica. A cambio, es necesario estar familiarizado con nociones básicas de teoría de categorías. La fuente principal de esta parte del trabajo es \cite{W}, y allí se puede encontrar también la relación entre esta versión funtorial de los grupos algebraicos y su naturaleza geométrica. <br />Empezaremos asumiendo conocidos los primeros conceptos de la teoría de categorías, tales como la propia definición de categoría, la definición de funtor o la definición de transformación natural. No será necesario mucho más que eso, puesto que el primer capítulo comienza dando la definición de funtor representable y estableciendo uno de los resultados fundamentales sobre los que descansa el resto de la teoría: el lema de Yoneda. A grandes rasgos y en la versión que utilizaremos aquí, este importante lema dice lo siguiente.<br />\bigskip<br />\textbf{Lema de Yoneda.} \textit{Sea $\mathcal{C}$ una categoría y sean $E, F: \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ dos funtores representables. Las transformaciones naturales de $E$ a $F$ están en correspondencia con los morfismos entre los objetos representantes, en sentido inverso.}<br />\bigskip<br />Comprender este lema es primordial, puesto que es el diccionario que nos permite traducir lo que sucede en la categoría de esquemas-grupo afines (una versión ligeramente más general de los grupos algebraicos) a la categoría de álgebras de Hopf, un nuevo objeto algebraico que introducimos y estudiamos en el capítulo \ref{chap1}. Más adelante, en el capítulo \ref{chap2}, el lema de Yoneda volverá a entrar en juego y nos servirá de nuevo como puente, esta vez entre las representaciones lineales de grupos algebraicos y los comódulos, otra nueva estructura algebraica.<br />Con esta herramienta en mano, el resto del capítulo \ref{chap1} transcurre estudiando las propiedades algebraicas típicas de los esquemas-grupo afines y las álgebras de Hopf, tales como los morfismos entre objetos de la misma categoría; los subobjetos y monomorfismos; y los cocientes y epimorfismos. Seguidamente se introducen dos tipos de grupos algebraicos afines que resultarán útiles en los capítulos siguientes: los grupos algebraicos diagonalizables y los esquemas-grupo constantes. El capítulo finaliza con una versión restringida de la dualidad de Cartier, que nos permite poner en relación estos dos últimos tipos de esquemas-grupo.<br />\bigskip<br />El capítulo \ref{chap2} comienza con un cambio súbito de dirección. Abandonamos momentáneamente el terreno funtorial para introducir la noción de álgebra (no necesariamente asociativa) graduada y algunos conceptos relacionados, como el de realización de una graduación. La definición básica es la que sigue.<br />\pagebreak<br />\textbf{Definición.} Dados un grupo $G$ y un álgebra (no necesariamente asociativa) $\mathcal{A}$, una \textit{gra\-dua\-ción por $G$ de $\mathcal{A}$} o una \textit{$G$-graduación de $\mathcal{A}$}, es una descomposición de $\mathcal{A}$ como espacio vectorial, $\mathcal{A} = \bigoplus_{g \in G} \mathcal{A}_g$, que satisface $\mathcal{A}_g \mathcal{A}_h \subset \mathcal{A}_{gh}$ para todo $g, h \in G$.<br />\bigskip<br />A continuación aparecen distintas nociones de isomorfismo para álgebras graduadas, según si consideramos el grupo por el que se gradúa como parte de la definición o no. Los teoremas principales de este capítulo \ref{chap2}, presentados en la sección \ref{main-theorems}, lidian con los diferentes tipos de isomorfismo por separado. Antes de poder formular dichos resultados es necesario desarrollar el lenguaje apropiado. Este es el propósito de la sección \ref{grad-comod-lin} que, empleando el lema de Yoneda y con tan solo una conexión adicional, pone en relación las graduaciones de un álgebra no asociativa $\mathcal{A}$ por un grupo abeliano finito $G$ con las representaciones lineales del grupo algebraico diagonalizable $G^D$ en el esquema-grupo de automorfismos de $\mathcal{A}$, $\mathbf{Aut}(\mathcal{A})$. Todo esto y mucho más se puede encontrar en \cite{EK}, fuente de este capítulo.<br />\bigskip<br />Por último, el capítulo \ref{chap3} pretende sacar a relucir una aplicación directa de lo presentado en el capítulo \ref{chap1}, mostrando que los conceptos allí descritos siguen siendo relevantes hoy en día. Para ello nos servimos de temas y artículos de actualidad. Calcularemos aquí los esquemas-grupo de automorfismos de algunas álgebras de evolución de dimensión $2$. Estas álgebras fueron introducidas en $2006$ por Tian, y él mismo ha indicado sus múltiples aplicaciones (aliciente del intenso trabajo que ha habido en este campo en los últimos años) en \cite{T}. Para el cómputo de estos esquemas-grupo nos valdremos de las técnicas presentadas en dos artículos de este año $2019$, a saber \cite{EL} y \cite{CGMMS}.<br />Estos cálculos, aparentemente inocuos, pueden volverse realmente complicados. Las interesantes ideas presentadas en \cite{EL} simplificarán las cuentas a cambio de introducir nueva maquinaria. El capítulo comenzará con la introducción de estos nuevos métodos, que incluyen grafos y secuencias exactas cortas de esquemas-grupo afines, y finalizará con el cálculo de algunos de los esquemas-grupo de automorfismos antes nombrados. En este capítulo nos volveremos a encontrar con los dos tipos de esquemas-grupo afines que habían aparecido anteriormente en el capítulo \ref{chap1}, diagonalizables y constantes.<br /><br />
000087419 521__ $$aGraduado en Matemáticas
000087419 540__ $$aDerechos regulados por licencia Creative Commons
000087419 700__ $$aElduque Palomo, Alberto Carlos$$edir.
000087419 7102_ $$aUniversidad de Zaragoza$$bMatemáticas$$cAlgebra
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