Teoría de Bass-Serre

Salamero Cebollero, Marina
Martínez Pérez, Concepción (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2023
Matemáticas department, Algebra area

Graduado en Matemáticas

Abstract: A menudo, los grupos son introducidos como el conjunto de automorfismos o simetrías de un objeto dado. Es por tanto natural pensar que, para estudiar las propiedades de un grupo, puede ser más práctico estudiar la manera en que actúa en un objeto, más que el grupo en sí. Por ejemplo, en la Teoría Geométrica de Grupos se estudian propiedades geométricas y topológicas de un espacio conocido en el que el grupo actúa, y luego se traduce esta información geométrica a resultados algebraicos.
La teoría de Bass-Serre se ocupa del caso en el que este espacio es un grafo, o más específicamente un grafo simplemente conexo, es decir, un árbol. El espacio cociente bajo la acción del grupo también debe ser un grafo, de modo que se requiere que esta acción sea sin inversión.
El objetivo de este trabajo es desarrollar las nociones básicas de esta teoría y demostrar el llamado Teorema de estructura, que proporciona una caracterización completa de los grupos que actúan sobre árboles. Más concretamente, veremos que el grafo cociente y los subgrupos estabilizadores de los vértices y los ejes constituyen toda la información necesaria para caracterizar el grupo. Esto nos permitirá comprender mejor la estructura de este tipo de grupos, obteniendo, por ejemplo, resultados acerca de la forma que tienen sus subgrupos.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado