El polinomio de Alexander desde el punto de vista de la homología de grupos

Escartín Ferrer, Marcos
Martínez Pérez, Concepción (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2021
Departamento de Matemáticas, Área de Algebra

Graduado en Matemáticas

Resumen: Los nudos son un elemento común en nuestra vida cotidiana, desde los cordones de nuestros zapatos hasta los cables enredados de unos auriculares. La teoría de nudos es una rama de la topología que se encarga de estudiar el objeto matemático de los nudos. En principio, un nudo en matemáticas no difiere mucho de la noción cotidiana: una cuerda anudada, con la excepción de que pegaremos los extremos para que no se pueda desatar. Formalmente, un nudo se define como un encaje de la circunferencia en el espacio.
Las bases de esta teoría son muy intuitivas, no obstante dotarlas de un rigor matemático es complejo. El objetivo principal de la teoría de nudos consiste en saber cuándo dos nudos son equivalentes, es decir, que se puede transformar el uno en el otro mediante deformaciones suaves. Aunque existe un algoritmo que resuelve el problema, este tiene complejidad desconocida, por lo que no es muy útil en la práctica. Así pues, se suelen utilizar invariantes como polinomios o grupos, que se pueden calcular para cualquier nudo y coinciden cuando los nudos son equivalentes.
El objetivo principal de este trabajo es presentar el Polinomio de Alexander, uno de los invariantes de nudos más clásicos. Fue descubierto en 1923 por James Waddell Alexander II y es uno de los primeros invariantes de nudos conocido. Existen varias formas equivalentes de definir este polinomio, desde definiciones puramente algebraicas a definiciones puramente geométricas y con superficies, pero en este trabajo nos centraremos en su definición algebraica, para lo que introduciremos el concepto de homología de grupos, que será el objeto principal que usaremos para definirlo.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado