Categorías y teoría de nudos

Cruces Mateo, Belén
Artal Bartolo, Enrique (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2022
Matemáticas department, Geometría y Topología area

Graduado en Matemáticas

Abstract: La teoría de nudos es una rama de la topología que estudia los nudos tal y como los conocemos coloquialmente pero de una forma matemática. Este campo tiene un gran interés debido a sus aplicaciones en las distintas ramas de la ciencia y su estudio mediante varios campos. Hoy en día se conocen muchas aplicaciones de esta teoría a ramas científicas como la química, la biología molecular, la física cuántica, la criptología, etc. Una de las aplicaciones más conocidas de la teoría de nudos es el estudio de la estructura del ADN.
La teoría de nudos tiene muchas aplicaciones, pero también muchos problemas abiertos. Su investigación se hace más complicada conforme aumentamos la complejidad de los nudos y enlaces con los que trabajemos, es por eso por lo que mi idea principal de este trabajo es hacer este estudio un poco más sencillo.
Para ello vamos a trabajar con dos ramas de las matemáticas a priori muy distintas, la topología, que utilizaremos para el estudio de los nudos y del conjunto de nudos construidos dentro de un espacio topológico con diferentes propiedades, y la segunda, la algebraica, que utilizaremos para estudiar unas estructuras específicas denominadas Lambda-módulos lagrangianos.
Para relacionar estas dos ramas utilizaremos las categorías. La teoría de las categorías es una rama de las matemáticas que trata de axiomatizar diversas estructuras matemáticas en una sola. Es por eso que nos permitirá a partir de una estructura muy geométrica como son los nudos introducidos dentro de un espacio topológico complejo en el que es difícil trabajar, relacionarlos con unas diversas estructuras algebraicas que en principio más fáciles de manipular.
Esto último de forma técnica lo vamos a realizar en el trabajo construyendo una categoría de las marañas o tangles y otra categoría que contendrá a los Lambda-módulos lagrangianos. Ambas categorías las relacionaremos mediante un funtor de manera que un elemento de la primera que en principio es más difícil de estudiar corresponderá con un elemento de la segunda, el cual tiene propiedades más sencillas. La descomposición de los tangles en tangles elementales nos permite construir este funtor de forma efectiva.
Por ejemplo uno de los útiles de nuestro trabajo va a ser saber si dos tangles son iguales, en principio comprender esto es complicado ya que puede puede existir una ``maraña'' de nudos que sea enrevesado diferenciar, es por eso por lo que mediante nuestro funtor vamos a tener dos objetos algebraicos en los que se va a hacer más sencillo chequear si estos conjuntos de nudos son iguales o no.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado