Homología y Números de Betti

Barberán Tirado, Rodrigo
Navarro Segura, José Luis (dir.) ; Calvo Yanguas, Carmen (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2022
Departamento de Matemáticas, Área de Geometría y Topología

Graduado en Matemáticas

Resumen: Este TFG se enmarca en el campo de la topología, cuyo principal objetivo es deducir cuándo dos espacios son o no homeomorfos. A lo largo del grado de matemáticas, hemos estudiado topología general (obligatoria en 2º) y topología de superficies (optativa en 4º). Por tanto, estamos familiarizados con los conceptos de conexión, separación, compacidad, compactificación, homeomorfismo, homotopía y grupo fundamental. Este trabajo entra en el área de la topología algebraica, la rama de las matemáticas que busca estudiar los espacios topológicos mediante el uso del álgebra abstracta. El grupo fundamental es un invariante algebraico, es decir, por tipo de homotopía, y puede usarse para clasificar las superficies compactas, conexas y sin borde, como hemos estudiado en la asignatura de topología de superficies. En particular, si los grupos fundamentales de dos superficies no son isomorfos, entonces no tienen el mismo tipo de homotopía, luego tampoco son homeomorfas. En este trabajo estudiaremos otros invariantes algebraicos, los grupos de homología simplicial, que no requieren de conocimientos adicionales a los estudiados en el grado de matemáticas para poder ser definidos y desarrollados. Intuitivamente, los grupos de homología caracterizan los "agujeros" del espacio. A lo largo del trabajo, se definirán y estudiarán los símplices, complejos simpliciales, subdivisiones, cadenas, bordes, ciclos, grupos de homología, característica de Euler, números de Betti, número de Lefschetz y otros conceptos. También se enunciarán y demostrarán teoremas relacionados con ellos, como el Teorema del Punto Fijo de Brouwer y el Teorema de la Traza de Hopf. En el último capítulo, se comentará como calcular números de Betti utilizando el sistema de álgebra computacional SageMath.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado