000125507 001__ 125507 000125507 005__ 20230420124048.0 000125507 037__ $$aTAZ-TFG-2022-2783 000125507 041__ $$aspa 000125507 1001_ $$aBarberán Tirado, Rodrigo 000125507 24200 $$aHomology and Betti Numbers 000125507 24500 $$aHomología y Números de Betti 000125507 260__ $$aZaragoza$$bUniversidad de Zaragoza$$c2022 000125507 506__ $$aby-nc-sa$$bCreative Commons$$c3.0$$uhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ 000125507 520__ $$aEste TFG se enmarca en el campo de la topología, cuyo principal objetivo es deducir cuándo dos espacios son o no homeomorfos. A lo largo del grado de matemáticas, hemos estudiado topología general (obligatoria en 2º) y topología de superficies (optativa en 4º). Por tanto, estamos familiarizados con los conceptos de conexión, separación, compacidad, compactificación, homeomorfismo, homotopía y grupo fundamental. Este trabajo entra en el área de la topología algebraica, la rama de las matemáticas que busca estudiar los espacios topológicos mediante el uso del álgebra abstracta. El grupo fundamental es un invariante algebraico, es decir, por tipo de homotopía, y puede usarse para clasificar las superficies compactas, conexas y sin borde, como hemos estudiado en la asignatura de topología de superficies. En particular, si los grupos fundamentales de dos superficies no son isomorfos, entonces no tienen el mismo tipo de homotopía, luego tampoco son homeomorfas. En este trabajo estudiaremos otros invariantes algebraicos, los grupos de homología simplicial, que no requieren de conocimientos adicionales a los estudiados en el grado de matemáticas para poder ser definidos y desarrollados. Intuitivamente, los grupos de homología caracterizan los "agujeros" del espacio. A lo largo del trabajo, se definirán y estudiarán los símplices, complejos simpliciales, subdivisiones, cadenas, bordes, ciclos, grupos de homología, característica de Euler, números de Betti, número de Lefschetz y otros conceptos. También se enunciarán y demostrarán teoremas relacionados con ellos, como el Teorema del Punto Fijo de Brouwer y el Teorema de la Traza de Hopf. En el último capítulo, se comentará como calcular números de Betti utilizando el sistema de álgebra computacional SageMath.<br /><br /> 000125507 521__ $$aGraduado en Matemáticas 000125507 540__ $$aDerechos regulados por licencia Creative Commons 000125507 700__ $$aNavarro Segura, José Luis$$edir. 000125507 700__ $$aCalvo Yanguas, Carmen$$edir. 000125507 7102_ $$aUniversidad de Zaragoza$$bMatemáticas$$cGeometría y Topología 000125507 8560_ $$f775252@unizar.es 000125507 8564_ $$s521775$$uhttps://zaguan.unizar.es/record/125507/files/TAZ-TFG-2022-2783.pdf$$yMemoria (spa) 000125507 909CO $$ooai:zaguan.unizar.es:125507$$pdriver$$ptrabajos-fin-grado 000125507 950__ $$a 000125507 951__ $$adeposita:2023-04-20 000125507 980__ $$aTAZ$$bTFG$$cCIEN 000125507 999__ $$a20220626173831.CREATION_DATE