El problema global en la ecuación de Schrödinger con una clase de potenciales confinantes de potencias

Gómez Diest, Francisco Javier
Sesma Bienzobas, Javier (dir.)

Universidad de Zaragoza, 2013

Resumen: El objeto de la tesis es explorar las posibilidades de aplicación de métodos asintóticos para resolver un conjunto de problemas de la Mecánica Cuántica que derivan de la ecuación de Schrödinger con potenciales confinantes dados por una suma de potencias de la variable independiente, que en la mayoría de aplicaciones es la coordenada radial (r) cuyo recorrido es el semieje real no negativo. Estos problemas pueden formularse mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden que, verificadas por funciones de una variable compleja adimensional (z), presentan singularidades en el origen y en el infinito de rangos enteros arbitrarios. Estas son nuestras ecuaciones canónicas. El conocimiento de las soluciones físicamente aceptables de la ecuación de Schrödinger en el rango completo de valores de (r) exige disponer de representaciones adecuadas de cualquier solución particular de la ecuación canónica correspondiente en la vecindad de ambos puntos singulares y establecer relaciones entre ambas representaciones, denominadas fórmulas de conexión, que dependen de constantes complejas, los factores de conexión o multiplicadores de Stokes, cuyo cálculo es equivalente a resolver el problema global o problema de conexión de la ecuación diferencial correspondiente al problema físico de interés. El conjunto de problemas tratados en la tesis se formula mediante dos tipos de ecuaciones canónicas: el primero tiene en el origen un punto singular regular y en el infinito un punto singular irregular, en el segundo el origen y el infinito son ambos puntos singulares irregulares. DESARROLLO TEÓRICO La tesis se presenta estructurada en seis partes o capítulos. El capítulo primero contiene un compendio de definiciones y teoremas fundamentales del Análisis Asintótico que permiten formular el problema global con el rigor debido. El capítulo segundo contiene en primer lugar algunos tópicos de la teoría de representación de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden en la vecindad de puntos singulares, con referencia particular al denominado fenómeno de Stokes. A renglón seguido se describe el método de Naundorf [43] de resolución del problema global, en el cual se inspira nuestro trabajo. Finalmente, exponemos nuestro método de resolución del problema global, el método de los Wronskianos, cuyo fundamento es la idea de que los factores de conexión pueden obtenerse como cocientes de Wronskianos de dos sistemas de soluciones de la ecuación diferencial: el primero (soluciones de Floquet) representado por series de potencias, el segundo (soluciones de Thomé) representados por desarrollos asintóticos. Consideramos dos versiones del método: una para la primera ecuación canónica (caso regular-irregular), otra, más general, para la segunda (caso irregular-irregular). En el capítulo tercero exponemos algunas aplicaciones del método de Naundorf a la ecuación de Schrödinger provista de algunos potenciales que han estudiado otros autores empleando diferentes procedimientos: el potencial ¿de Cornell¿ (Coulomb más lineal) [26] utilizado en la espectroscopia de hadrones, el potencial del efecto Stark esférico en el hidrógeno [27], los osciladores inarmónicos unidimensionales [28] que han servido para contrastar diferentes métodos aproximados de resolución de la ecuación de Schrödinger, y los potenciales ¿sombrero¿ [29] que aparecen en diferentes modelos de física molecular, física de la materia condensada y teorías de campos. En el capítulo cuarto damos cuenta de algunas aplicaciones del método de los Wronskianos a ecuaciones que tienen singularidades regular e irregular en el origen e infinito respectivamente: osciladores anarmónicos [5], [7], [16], [36], [42], potenciales de Pöschl-Teller, Pöschl-Teller modificado y Morse [23], y potencial polinomial general [32]. En el capítulo quinto presentamos aplicaciones del método de los Wronskianos a problemas donde la ecuación de Schrödinger contiene un potencial suma de potencias de la variable independiente tal que el origen y el infinito son ambos puntos singulares irregulares de la ecuación. En concreto, consideramos un potencial con simetría esférica al que corresponde una ecuación canónica de Heun doblemente confluyente [51], [55], y el problema de los osciladores ¿spiked¿ cuánticos [14], [38], [52], [53], [69], i.e. osciladores armónicos dotados de un término repulsivo singular en el origen. En un capítulo suplementario dividido en dos apéndices analizamos sendos problemas cuya solución reviste una dificultad particular. En el apéndice A proponemos una demostración, basada en un teorema de Perron [47] sobre recurrencias lineales, de la convergencia de ciertas series infinitas que aparecen en las expresiones algebraicas finitas de los factores de conexión generadas por el método de los Wronskianos. En el apéndice B exponemos un procedimiento, basado en el método de iteración de Newton [44], mediante el cual determinamos los índices y coeficientes de las soluciones de Floquet de nuestra ecuación canónica en el caso más general, cuando ambos puntos singulares son irregulares. CONCLUSIONES 1. Hemos estudiado la utilización de desarrollos asintóticos, además de series convergentes, en la representación de soluciones globales de la ecuación de Schrödinger con potenciales singulares. Tras analizar diferentes tratamientos del problema hemos encontrado que el más adecuado es el propuesto por Friedrich Naundorf en su Tesis Doctoral realizada en la Universidad de Heidelberg bajo la dirección del Prof. Werner Romberg. 2. Como una primera comprobación de la aplicabilidad de ese método, estudiamos las primeras energías y funciones de onda en un modelo no relativista de ¿quarkonium¿. Los resultados fueron esperanzadores. Estrechamente relacionado con ese problema es el llamado efecto Stark esférico, que había sido estudiado por Fernández et al. [F. M. Fernández, R. Guardiola, J. Phys. A 26 (1993) 7169] con su método que llaman de Riccati-Padé. El procedimiento de Naundorf, además de dar la función de onda, permite obtener, especialmente para los estados excitados, valores de la energía más precisos. 3. A continuación pasamos a calcular los primeros niveles de energía de varios sistemas cuánticos tratados por otros autores mediante diferentes procedimientos. En cada caso hemos encontrado plena concordancia con los resultados más fiables publicados por dichos autores. Así, hemos tratado varios osciladores anarmónicos, como el cuártico de Balsa et al. [R. Balsa, M. Plo, J. G. Esteve, A. F. Pacheco, Phys. Rev. D 28 (1983) 1945] y los llamados potenciales sombrero. 4. Hemos desarrollado una considerable mejora del método de Naundorf, que en la memoria llamamos método de los Wronskianos. En el primero, el cálculo de los factores de conexión requiere evaluar (numéricamente) un cierto número (dependiendo del grado de la singularidad del potencial) de series dobles. En nuestra variante, basta con el cálculo del mismo número de series simples, con la consiguiente ganancia de precisión. La convergencia de dichas series simples ha sido establecida rigurosamente. [F. J. Gómez and J. Sesma, J. Comp. And Appl. Math. 207 (2007) 291]. 5. Hemos aplicado nuestro método al cálculo de varios osciladores anarmónicos, como los séxticos de Turbiner [A. Turbiner, Sov. Phys. JETP 67 (1988) 230], Finkel et al. [F. Finkel, A. González-López, M. A. Rodríguez, J. Math. Phys. 37 (1996) 3954] y Bender et al. [C. M. Bender, G. V. Dunne, J. Math. Phys. 37 (1996) 6], y los más generales de Guardiola et al. [R. Guardiola, M. A. Solís, J. Ros, Nuovo Cimento B 107 (1992) 713]. Además de una mejora de los valores de las energías, nuestro método proporciona en todos los casos expresiones algebraicas de las funciones de onda. 6. En los ejemplos mencionados, la ecuación de Schrödinger presenta un punto singular regular en el origen y otro irregular en el infinito. Como comprobación de la aplicabilidad de nuestro método al caso en que la singularidad en el origen sea también irregular, hemos estudiado la solución de la ecuación de Heun doblemente confluyente. El algoritmo que hemos propuesto [J. Abad, F. J. Gómez, J. Sesma, Numer. Algor. (2008) 33] reproduce fielmente la solución dada por el sistema Maple 11 para unas condiciones de contorno particulares. 7. Finalmente, como aplicación al caso de una ecuación con dos puntos singulares irregulares, hemos estudiado varios ejemplos de osciladores ¿spiked¿ tratados, con diferentes métodos, por Buendía et al. [E. Buendía, F. J. Gálvez, A. Puertas, J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995) 6731], Roy [A. K. Roy, Phys. Lett. A 321 (2004) 231], Znojil [M. Znojil, J. Math. Phys. 30 (1989) 23], Aguilera-Navarro et al. [V. C. Aguilera-Navarro, E. Ley Koo, Int. J. Theor. Phys. (1997) 36], y Saad et al. [N. Saad, R. L. Hall, Q. D. Katatbeh, J. Math. Phys. 46 (2005) 022104]. Nuestro método, usando FORTRAN con doble precisión, no consigue para los niveles de energía resultados con la calidad de los obtenidos por Buendía et al. por el procedimiento de continuación analítica, pero sí mejores que los que se tienen con los otros métodos. Y en todos los casos obtenemos expresiones algebraicas de la función de onda. 8. El trabajo presentado en esta memoria se limita al estudio de potenciales confinantes, de modo que las soluciones físicas de la ecuación de Schrödinger forzosamente habían de anularse en el infinito. El método que hemos desarrollado es completamente general y vale igualmente para obtener soluciones globales en el caso de potenciales singulares en el origen y que se anulan en el infinito. No hay, pues, dificultad para su aplicación a problemas de colisión. Así lo hemos comprobado en el estudio que hemos hecho de la ¿scattering length¿ en potenciales de tipo Lennard-Jones [F. J. Gómez, J. Sesma, Eur. Phys. J. D. (2012) 66:6].

Pal. clave: física teórica ; ecuación de schrödinger ; mecánica cuántica

Área de conocimiento: Física teórica

Departamento: Física Teórica

Nota: Presentado: 30 09 2013

Nota: Tesis-Univ. Zaragoza, Física Teórica, 2013