Oliva Maza, Jesús
Miana Sanz, Pedro José (dir.) ; Galé Gimeno, José Esteban (dir.)
Universidad de Zaragoza,
2023
Abstract: Los operadores integrales han sido objetos matemáticos de gran interés e importancia en el análisis funcional y la teoría de operadores desde el mismo comienzo de ambos campos, y han sido estudiados desde diferentes puntos de vista a lo largo de los años. En esta memoria, estamos interesados en las relaciones de los operadores integrales con grupos y semigrupos de operadores. Veamos a continuación un ejemplo ilustrativo de dicha relación. Sea $H$ un núcleo de Hardy en $(0,\infty)\times (0,\infty)$. En particular,
$$(\forall y>0)\quad H(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{-1} H(x,y), \quad x,y>0.
$$
Entonces, el operador integral $T_H$ asociado a $H$ está determinado por
$$(T_H f)(y) := \int_0^\infty H(x,y)f(x)\,dx, \, y > 0,
$$
siempre que $f:(0,\infty)\to \CC$ sea una función adecuada. El operador $T_H$ se puede expresar como una integral vectorial si aplicamos dos sencillos cambios de variable: para $y>0$,
\begin{align*}
(T_H f)(y):=\int_0^\infty H(x,y) f(x) dx&= \int_0^\infty y^{-1}H(y^{-1}x,1) f(x) dx\\
&
=\int_0^\infty H(u,1) f(uy) du=\int_{-\infty}^\infty e^{-t} H(e^{-t},1) f(e^{-t}y) dt;
\end{align*}
es decir, el operador integral $T_H$ se puede escribir como
\begin{equation}\label{THesp}
T_H f=\int_{-\infty}^\infty e^{-t} H(e^{-t},1) E(t)f\, dt,
\end{equation}
donde $(E(t))_{t\in \RR}$ es el \textit{grupo} de operadores dado por $E(t)f := f(e^{-t}(\cdot))$, $t \in \RR$.
El ejemplo anterior se puede interpretar como un caso particular de subordinación de operadores, esto es, operadores $\mathcal T$ en un espacio de Banach $X$ determinados por una integral vectorial (Bochner convergente) del tipo
\begin{equation}\label{subordinationEsp}
{\mathcal T}f=\int_\Omega \varphi(t) T(t)f\ dt, \quad f\in X,
\end{equation}
donde $\varphi:\Omega\to\CC$ es una función apropiada, $\Omega = (0,\infty)$ o $\Omega = \RR$, y $(T(t))_{t\in \Omega}$ es un $C_0$-semigrupo (si $\Omega = (0,\infty)$) o un $C_0$-grupo (si $\Omega = \RR$) de operadores en $X$. En este contexto, una idea que ha resultado fructífera a lo largo de los años es la transferencia de información de propiedades desde el (semi)grupo $(T(t))$ hacia el operador $\mathcal T$. Para ello, resulta esencial la representación del operador $\mathcal T$ en términos del generador infinitesimal $\Delta$ del (semi)grupo $(T(t))$, lo cual nos permite interpretar \eqref{subordinationEsp} en términos de un cálculo funcional de funciones holomorfas. Nosotros adoptamos este punto de vista en la memoria, de modo que los grupos y semigrupos de operadores se encuentran en el núcleo del trabajo desarrollado aquí. De hecho, gran parte de los resultados e ideas expuestos en este documento están inspirados por las acciones de semigrupos en espacios de Banach.
Sea $(T(t))$ un $C_0$-semigrupo en un espacio de Banach $X$, y sea $\mathcal T$ un operador acotado en $X$ obtenido por una subordinación con respecto a $(T(t))$ como en \eqref{subordinationEsp}. El subespacio imagen $\ran \mathcal T := \mathcal T(X)$ es un ejemplo de rango de operador. Los rangos de operadores han sido estudiados en numerosos artículos, como por ejemplo \cite{arias2009lifting, arias2013additivity,fillmore1971operator, foiacs1972invariant,kitson2011operator,nordgren1976operator,nordgren1979invariant}, y su estudio se remonta al tratado seminal de Dixmier \cite{dixmier1949etude}. Sin embargo, las posibles conexiones entre representaciones de grupos en espacios de Banach y los rangos de operadores no han sido exploradas con profundidad en la literatura. En esta dirección, parece natural la siguiente pregunta. Sea $(T(t))_{t\in \RR}$ un grupo que es un subgrupo de un grupo estrictamente más grande $G$, tal que el rango de operador $\ran \mathcal T$ es $G$-invariante. ¿Bajo que condiciones $(T(t))_{t\in \RR}$ (ó $G$) inducen un $C_0$-grupo en el espacio rango $\ran \mathcal T$? Esta pregunta está parcialmente originada con la finalidad de aplicar la teoría desarrollada en \cite{beltictua2014linear} a los espacios de derivación fraccionaria introducidos en \cite{gale2021rkh}, y no resulta sencilla de responder. Dicha pregunta está estrechamente relacionada con la caracterización intrincada, en términos de descomposiciones espectrales, del subálgebra de operadores acotados que dejan un operador rango invariante, véase \cite{nordgren1979invariant}. Con el objetivo de entender mejor este problema, se ha dado un primer paso en esta dirección en \cite{oliva2021lie}, en un marco abstracto de representaciones de grupos de Banach-Lie. Sin embargo, no proseguiremos con esta línea de investigación en la memoria. En vez de ello, centramos nuestro trabajo en las propiedades espectrales propias del operador $\mathcal T$. Para ello, notamos que en general no es posible describir el espectro de $\mathcal T$ directamente a partir del espectro del (semi)grupo $(T(t))$ dado en \eqref{subordinationEsp}, ya que las igualdades no se dan en los teoremas de aplicación espectral en este contexto. Sin embargo, dadas las hipótesis adecuadas, es posible obtener información del espectro de $\mathcal T$ a partir del espectro del generador infinitesimal $\Delta$ de $(T(t))$ a través de una representación del tipo $\mathcal T = \int_\Omega \varphi(t)e^{t \Delta}\, dt$. Por tanto, es claro que un análisis detallado del espectro de los generadores infinitesimales de $C_0$-(semi)grupos es conveniente para nuestros fines. En particular, nos centramos en esta memoria en dos casos importantes de (semi)grupos de composición pesados que actúan en el disco unidad complejo $\DD$.
$(E(t))_{t\in \RR}$ es un ejemplo interesante de un ($C_0$-)grupo de operadores de composición sobre espacios de funciones en $(0,\infty)$, el cual está relacionado de una forma natural con los operadores de tipo Hardy, ver \eqref{THesp}. Este grupo tiene aplicaciones en el análisis de la ecuación de Black-Scholes estudiada en \cite{arendt2002spectrum}. Además, $(E(t))_{t\in \RR}$ ha sido empleado para la representación de operadores de Cesàro-Hardy por medio de resolventes \cite{aleman2010resolvent, arvanitidis2013cesaro, lizama2014boundedness}, véase también \cite{gale2021rkh}. A través de una transformada de M\"obius pesada, el grupo $(E(t))_{t\in \RR}$ es isomorfo al grupo de operadores de composición $(C_{\varphi_t})_{t\in \RR}$ inducido por el flujo hiperbólico $(\varphi_t)_{t\in \RR}$, dado por
$$
\varphi_t (z) := \frac{(e^t+1)z+e^t-1}{(e^t-1)z+e^t+1}, \quad z \in \DD, \, t \in \RR;
$$
es decir, $C_{\varphi_t}f := f \circ \varphi_t, \, f \in \mathcal O(\DD)$, donde $\mathcal O(\DD) := \{f : \DD \to \CC \, : \, f \mbox{ holomorfa}\}$.
Uno de los objetivos de esta memoria es el estudio de $C_0$-grupos de composición pesados $(v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}$, donde $(\psi_t)_{t\in \RR}$ es un flujo de automorfismos hiperbólicos del disco $\DD$ y $(v_t)_{t\in \RR}$ es un cociclo para el flujo $(\psi_t)_{t\in\RR}$. Para ello, llevamos a cabo un análisis detallado del espectro del generador infinitesimal $\Delta$ del grupo $(u_t C_{\varphi_{t}})_{t\in \RR}$, donde $(u_t)_{t\in \RR}$ es un cociclo adecuado para el flujo $(\varphi_t)_{t\in \RR}$. Como consecuencia de este estudio, obtenemos una descripción precisa del espectro de operadores integrales promedio $\mathcal T$ en $\DD$, obtenidos a partir de una subordinación como en \eqref{subordinationEsp} por grupos del tipo $(v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}$. Los operadores así obtenidos son generalizaciones de otros dos operadores que están conectados con los operadores de tipo Cesàro. Uno de ellos es un operador integral introducido en \cite{siskakis1986weighted} por A. Siskakis, y el otro es el operador de la matriz reducida de Hilbert.
Nuestro estudio espectral para el generador infinitesimal $\Delta$ es llevado a cabo cuando el grupo $(u_t C_{\varphi_t})_{t\in \RR}$ actúa en una familia de espacios de Banach entre los que se encuentran los espacios de Hardy, los espacios de Bergmann pesados, los espacios de Dirichlet pesados, los espacios little Bloch, los espacios little Korenblum y el álgebra del disco. Para ello, seguimos un enfoque unificado que nos permite obtener la descripción espectral de $\Delta$ siempre que el espacio de funciones holomorfas satisfaga ciertos axiomas. Por otro lado, los cociclos $(u_t)_{t\in \RR}$ han de cumplir ciertas condiciones (poco restrictivas) que implican que $(u_t)_{t\in \RR}$ se puede representar como $u_t = (\omega \circ \varphi_t)/\omega$, $t\in \RR$, para cierta función holomorfa (también llamada peso) $\omega:\DD \to \CC$ que no presenta ceros en $\DD$, véase \cite{konig1990semicocycles}. Uno de los resultados relevantes de esta tesis es que tal peso $\omega$ presenta ceros o singularidades de tipo polinomiales en los puntos Denjoy-Wolf de $(\varphi_t)_{t\in \RR}$, esto es en $-1$ y en $1$.
Además, el estudio presentado aquí para los grupos $(u_t C_{\varphi_t})_{t\in \RR}$, o para los grupos más generales $(v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}$, tienen aplicaciones en ciertas conjeturas sobre el espectro de operadores de composición de tipo hiperbólico con pesos invertibles $v C_\psi$; es decir, donde $\psi$ es un automorfismo hiperbólico del disco $\DD$ y donde $v$ es un multiplicador invertible, véase \cite{hyvarinen2013spectra, eklund2016spectral}. En efecto, respondemos de forma afirmativa a dichas conjeturas en el caso de que el operador $vC_{\psi}$ pueda verse como un elemento de un grupo de operadores $(v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}$.
Por otro lado, surge de forma natural el estudio de otros semigrupos de composición pesados usando técnicas inspiradas por las explicadas anteriormente para los automorfismos hiperbólicos. Más precisamente, consideramos semigrupos asociados a semiflujos cuyo punto de Denjoy-Wolf se encuentra en el disco $\DD$, y que tienen un número finito de puntos repulsivos en la frontera $\partial \DD$, esto es, en el círculo $\torus$. Dichos semiflujos vienen inspirados como una versión abstracta del semiflujo analítico
$$
\phi_{t,n}(z):={e^{-t}z\over((e^{-nt}-1)z^n+1)^{1/n}},\quad z\in\DD, t\ge0, n\in\NN.
$$
Además, estos semiflujos aparecen, de una forma natural, relacionados con el estudio de operadores inducidos por matrices de Hausdorff en espacios de funciones holomorfas en $\DD$. En este documento, hacemos uso del estudio espectral del generador de dichos semigrupos para obtener propiedades de acotación y propiedades espectrales de operadores generalizados de Hausdorff en el contexto de espacios de Hardy, espacios de Bergmann pesados, y espacios little Korenblum. Para ello, llevamos a cabo un análisis detallado y riguroso de funciones multivaluadas asociadas a ciertos semicociclos, las cuales también aparecen de forma natural al considerar pesos multivaluados asociados a los integrales promedio. Hemos de notar que, si bien el espectro de familias de operadores de composición pesados no invertibles se ha estudiado en \cite{galindo2020spectra} en condiciones más generales que las dadas en este documento, el espectro de su generador infinitesimal (en el caso de que sean elementos de un semigrupo) no era conocido hasta la fecha.
Con el objetivo de transferir mediante la fórmula de subordinación \eqref{subordinationEsp} información espectral del generador infinitesimal $\Delta$ a los operadores integrales $\mathcal T$ en los que estamos interesados, debemos aplicar un cálculo funcional apropiado (asociado a $\Delta$), así como unos teoremas de aplicación espectral; es decir, igualdades del tipo
$$\widetilde \sigma(\mathcal T) = f(\widetilde \sigma(\Delta)),
$$
donde $f$ es una función en el dominio del cálculo funcional de $\Delta$ tal que $\mathcal T = f(\Delta)$, y donde $\widetilde \sigma$ representa el espectro extendido. Dicho teorema de aplicación espectral fue dado en \cite{haase2005spectral} en el marco de operadores sectoriales y para funciones meromorfas $f$ tales que: 1) $\sigma(\Delta) \setminus \{0\} \subset \dom(f)$; 2) $f$ tiene `límites casi-logarítmicos' en $\widetilde \sigma(\Delta)\cap\{0,\infty\}$. En particular, dicho teorema de aplicación espectral es válido para operadores adecuados $\mathcal T$ que están subordinados a $C_0$-semigrupos. Para cubrir el caso en el que $\mathcal T$ está subordinado a un $C_0$-grupo, hemos de adaptar cuidadosamente los resultados de \cite{haase2005spectral} al marco de operadores de tipo bisectorial. Es más, extendemos el teorema de aplicación espectral de modo que también sea aplicable a diversos subconjuntos espectrales $\widetilde\sigma_i$, todos ellos denominados como `espectro esencial' en la bibliografía por diferentes autores (en particular, el usual espectro esencial $\widetilde\sigma_{ess}$ definido en términos de operadores de tipo Fredholm). Dicha extensión es un avance considerable con respecto a los teoremas de aplicación espectral para espectros esenciales dados en \cite{gramsch1971spectral, gonzalez1985spectral}, ya que la clase de funciones considerada aquí es significativamente más amplia y grande que la considerada en \cite{gramsch1971spectral, gonzalez1985spectral}. Además, respondemos afirmativamente (incluso para todos los espectros esenciales considerados aquí) a una pregunta sugerida por Haase en \cite{haase2005spectral}. Dicha pregunta plantea si el teorema de aplicación espectral se sigue cumpliendo si, en vez de `límites casi-logarítmicos', la función $f$ en cuestión tiene límites `casi-regulares'.
En otra dirección, el operador de Cesàro, el cual puede ser representado con una subordinación en términos del grupo $(E(t))_{t\in \RR}$ como en \eqref{subordinationEsp}, está estrechamente relacionado con la ecuación de Black-Scholes estudiada en \cite{arendt2002spectrum}. Es por ello que el estudio de las versiones fraccionarias de la ecuación de Black-Scholes inducidas por los operadores fraccionarios de Cesàro (los cuales también se pueden subordinar a $(E(t))_{t\in\RR}$) surge de una forma natural. Dado $\alpha>0$, estas ecuaciones fraccionarias vienen dadas por
\begin{equation}\label{GBSEIntroEsp}
\begin{aligned}
%\textcolor{red}{(-1)^{n+1}}
\frac{\partial f}{\partial t} & = \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha f)) - \frac{2}{\Gamma(\alpha+1)} \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha f) + f, \\
%\textcolor{red}{(-1)^{n+1}}
\frac{\partial f}{\partial t} &= \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} x^\alpha W^\alpha (x^\alpha W^\alpha f),
\\ \frac{\partial f}{\partial t} & = - \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} \riemannDerivative^\alpha (x^{2\alpha} W^\alpha f)+\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}x^\alpha W^\alpha f,
\end{aligned}
\end{equation}
donde $\riemannDerivative^\alpha$ denota la derivada de orden fraccionario de Riemann-Liouville, y $W^\alpha$ denota la derivada de orden fraccionario de Weyl.
El estudio del buen planteamiento de los problemas (abstractos) de Cauchy asociados a las ecuaciones anteriores no resulta trivial en absoluto. En efecto, la aparición conjunta de derivadas de orden fraccionario, junto con la multiplicación por potencias de orden fraccionario, hace que dichas ecuaciones sean difíciles (quizá imposibles) de resolver usando métodos clásicos. Por otro lado, las ecuaciones \eqref{GBSEIntroEsp} se pueden representar a través del cálculo funcional regularizado del generador infinitesimal $\Delta$ del grupo $(E(t))_{t\in \RR}$. Es más, las funciones (pertenecientes al dominio de dicho cálculo funcional) que aparecen en dicha representación poseen singularidades de tipo polinomial en $\infty$. Por ello, resulta pertinente la propiedad de escalamiento, la cual nos garantiza que el operador fraccionario $\Delta^\alpha$ induce un problema de Cauchy bien planteado para valores de $\alpha$ adecuados. En este sentido, demostramos (en un marco abstracto de operadores de tipo bisectorial y operadores sectoriales) una extensión de la propiedad de escalamiento que, en particular, implica que $f(\Delta)$ induce un problema de Cauchy bien planteado si $f$ tiene singularidades de tipo polinomial en $\infty$. Esta extensión de la propiedad de escalamiento, junto con una serie de resultados auxiliares, nos permite demostrar el buen planteamiento de las ecuaciones fraccionarias de tipo Black-Scholes \eqref{GBSEIntroEsp}, y además de ello, obtener fórmulas explícitas de sus soluciones. \medskip
La memoria está organizada como se expone a continuación.
Tras esta introducción (y su versión en inglés), se encuentra un primer capítulo preliminar donde ciertas definiciones y resultados son recordados. La primera parte del Capítulo \ref{chapterSpectra} está dedicada a la adaptación (de una forma estándar) del `cálculo funcional regularizado' desde el marco de operadores sectoriales (véase \cite{haase2005general, haase2006functional}) a operadores de tipo bisectorial, lo cual será necesario para el enfoque unificado que llevaremos a cabo. La segunda parte de este capítulo está dedicada a la demostración de los teoremas de aplicación espectral para los distintos espectros esenciales. Después, en el Capítulo \ref{chapterScaling}, presentamos extensiones de la propiedad de escalamiento sobre potencias fraccionarias de operadores, y aplicamos dichas extensiones, junto con el cálculo funcional regularizado, para resolver ecuaciones generalizadas de Black-Scholes en espacios de interpolación. El contenido de los Capítulos \ref{chapterSpectra} y \ref{chapterScaling} se puede encontrar en \cite{oliva2022spectral, oliva2023introducing}.
El Capítulo \ref{chapterMultivalued} contiene un análisis sobre funciones multivaluadas necesario para la representación de los semicociclos que aparecen en el Capítulo \ref{chapterHausdorff}, donde presentamos nuestros resultados sobre operadores generalizados de Hausdorff y semigrupos de composición pesados inducidos por semiflujos con punto de Denjoy-Wolf en $\DD$ y con un número finito de puntos repulsivos en $\torus$. El contenido de estos capítulos es el objeto de estudio de un trabajo en desarrollo en colaboración con L. Abadías \cite{abadias2023spectra}.
El Capítulo \ref{chapterHyperbolic} está dedicado al estudio detallado del espectro del generador infinitesimal de grupos de composición pesados inducidos por flujos hiperbólicos, así como a las consecuencias de estos resultados en los operadores integrales subordinados mencionados anteriormente. Estos resultados se encuentran en \cite{abadias2022weighted}.
Finalmente, en la Adenda \ref{chapterHardy}, señalamos diferentes resultados para los operadores de Hardy, resultados en direcciones similares a las mencionadas anteriormente. El material correspondiente a esta adenda se puede encontrar en \cite{miana2020spectra, miana2021integral, oliva2021connection,oliva2022hardy}.
Abstract (other lang.):
$$(\forall y>0)\quad H(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{-1} H(x,y), \quad x,y>0.
$$
Entonces, el operador integral $T_H$ asociado a $H$ está determinado por
$$(T_H f)(y) := \int_0^\infty H(x,y)f(x)\,dx, \, y > 0,
$$
siempre que $f:(0,\infty)\to \CC$ sea una función adecuada. El operador $T_H$ se puede expresar como una integral vectorial si aplicamos dos sencillos cambios de variable: para $y>0$,
\begin{align*}
(T_H f)(y):=\int_0^\infty H(x,y) f(x) dx&= \int_0^\infty y^{-1}H(y^{-1}x,1) f(x) dx\\
&
=\int_0^\infty H(u,1) f(uy) du=\int_{-\infty}^\infty e^{-t} H(e^{-t},1) f(e^{-t}y) dt;
\end{align*}
es decir, el operador integral $T_H$ se puede escribir como
\begin{equation}\label{THesp}
T_H f=\int_{-\infty}^\infty e^{-t} H(e^{-t},1) E(t)f\, dt,
\end{equation}
donde $(E(t))_{t\in \RR}$ es el \textit{grupo} de operadores dado por $E(t)f := f(e^{-t}(\cdot))$, $t \in \RR$.
El ejemplo anterior se puede interpretar como un caso particular de subordinación de operadores, esto es, operadores $\mathcal T$ en un espacio de Banach $X$ determinados por una integral vectorial (Bochner convergente) del tipo
\begin{equation}\label{subordinationEsp}
{\mathcal T}f=\int_\Omega \varphi(t) T(t)f\ dt, \quad f\in X,
\end{equation}
donde $\varphi:\Omega\to\CC$ es una función apropiada, $\Omega = (0,\infty)$ o $\Omega = \RR$, y $(T(t))_{t\in \Omega}$ es un $C_0$-semigrupo (si $\Omega = (0,\infty)$) o un $C_0$-grupo (si $\Omega = \RR$) de operadores en $X$. En este contexto, una idea que ha resultado fructífera a lo largo de los años es la transferencia de información de propiedades desde el (semi)grupo $(T(t))$ hacia el operador $\mathcal T$. Para ello, resulta esencial la representación del operador $\mathcal T$ en términos del generador infinitesimal $\Delta$ del (semi)grupo $(T(t))$, lo cual nos permite interpretar \eqref{subordinationEsp} en términos de un cálculo funcional de funciones holomorfas. Nosotros adoptamos este punto de vista en la memoria, de modo que los grupos y semigrupos de operadores se encuentran en el núcleo del trabajo desarrollado aquí. De hecho, gran parte de los resultados e ideas expuestos en este documento están inspirados por las acciones de semigrupos en espacios de Banach.
Sea $(T(t))$ un $C_0$-semigrupo en un espacio de Banach $X$, y sea $\mathcal T$ un operador acotado en $X$ obtenido por una subordinación con respecto a $(T(t))$ como en \eqref{subordinationEsp}. El subespacio imagen $\ran \mathcal T := \mathcal T(X)$ es un ejemplo de rango de operador. Los rangos de operadores han sido estudiados en numerosos artículos, como por ejemplo \cite{arias2009lifting, arias2013additivity,fillmore1971operator, foiacs1972invariant,kitson2011operator,nordgren1976operator,nordgren1979invariant}, y su estudio se remonta al tratado seminal de Dixmier \cite{dixmier1949etude}. Sin embargo, las posibles conexiones entre representaciones de grupos en espacios de Banach y los rangos de operadores no han sido exploradas con profundidad en la literatura. En esta dirección, parece natural la siguiente pregunta. Sea $(T(t))_{t\in \RR}$ un grupo que es un subgrupo de un grupo estrictamente más grande $G$, tal que el rango de operador $\ran \mathcal T$ es $G$-invariante. ¿Bajo que condiciones $(T(t))_{t\in \RR}$ (ó $G$) inducen un $C_0$-grupo en el espacio rango $\ran \mathcal T$? Esta pregunta está parcialmente originada con la finalidad de aplicar la teoría desarrollada en \cite{beltictua2014linear} a los espacios de derivación fraccionaria introducidos en \cite{gale2021rkh}, y no resulta sencilla de responder. Dicha pregunta está estrechamente relacionada con la caracterización intrincada, en términos de descomposiciones espectrales, del subálgebra de operadores acotados que dejan un operador rango invariante, véase \cite{nordgren1979invariant}. Con el objetivo de entender mejor este problema, se ha dado un primer paso en esta dirección en \cite{oliva2021lie}, en un marco abstracto de representaciones de grupos de Banach-Lie. Sin embargo, no proseguiremos con esta línea de investigación en la memoria. En vez de ello, centramos nuestro trabajo en las propiedades espectrales propias del operador $\mathcal T$. Para ello, notamos que en general no es posible describir el espectro de $\mathcal T$ directamente a partir del espectro del (semi)grupo $(T(t))$ dado en \eqref{subordinationEsp}, ya que las igualdades no se dan en los teoremas de aplicación espectral en este contexto. Sin embargo, dadas las hipótesis adecuadas, es posible obtener información del espectro de $\mathcal T$ a partir del espectro del generador infinitesimal $\Delta$ de $(T(t))$ a través de una representación del tipo $\mathcal T = \int_\Omega \varphi(t)e^{t \Delta}\, dt$. Por tanto, es claro que un análisis detallado del espectro de los generadores infinitesimales de $C_0$-(semi)grupos es conveniente para nuestros fines. En particular, nos centramos en esta memoria en dos casos importantes de (semi)grupos de composición pesados que actúan en el disco unidad complejo $\DD$.
$(E(t))_{t\in \RR}$ es un ejemplo interesante de un ($C_0$-)grupo de operadores de composición sobre espacios de funciones en $(0,\infty)$, el cual está relacionado de una forma natural con los operadores de tipo Hardy, ver \eqref{THesp}. Este grupo tiene aplicaciones en el análisis de la ecuación de Black-Scholes estudiada en \cite{arendt2002spectrum}. Además, $(E(t))_{t\in \RR}$ ha sido empleado para la representación de operadores de Cesàro-Hardy por medio de resolventes \cite{aleman2010resolvent, arvanitidis2013cesaro, lizama2014boundedness}, véase también \cite{gale2021rkh}. A través de una transformada de M\"obius pesada, el grupo $(E(t))_{t\in \RR}$ es isomorfo al grupo de operadores de composición $(C_{\varphi_t})_{t\in \RR}$ inducido por el flujo hiperbólico $(\varphi_t)_{t\in \RR}$, dado por
$$
\varphi_t (z) := \frac{(e^t+1)z+e^t-1}{(e^t-1)z+e^t+1}, \quad z \in \DD, \, t \in \RR;
$$
es decir, $C_{\varphi_t}f := f \circ \varphi_t, \, f \in \mathcal O(\DD)$, donde $\mathcal O(\DD) := \{f : \DD \to \CC \, : \, f \mbox{ holomorfa}\}$.
Uno de los objetivos de esta memoria es el estudio de $C_0$-grupos de composición pesados $(v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}$, donde $(\psi_t)_{t\in \RR}$ es un flujo de automorfismos hiperbólicos del disco $\DD$ y $(v_t)_{t\in \RR}$ es un cociclo para el flujo $(\psi_t)_{t\in\RR}$. Para ello, llevamos a cabo un análisis detallado del espectro del generador infinitesimal $\Delta$ del grupo $(u_t C_{\varphi_{t}})_{t\in \RR}$, donde $(u_t)_{t\in \RR}$ es un cociclo adecuado para el flujo $(\varphi_t)_{t\in \RR}$. Como consecuencia de este estudio, obtenemos una descripción precisa del espectro de operadores integrales promedio $\mathcal T$ en $\DD$, obtenidos a partir de una subordinación como en \eqref{subordinationEsp} por grupos del tipo $(v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}$. Los operadores así obtenidos son generalizaciones de otros dos operadores que están conectados con los operadores de tipo Cesàro. Uno de ellos es un operador integral introducido en \cite{siskakis1986weighted} por A. Siskakis, y el otro es el operador de la matriz reducida de Hilbert.
Nuestro estudio espectral para el generador infinitesimal $\Delta$ es llevado a cabo cuando el grupo $(u_t C_{\varphi_t})_{t\in \RR}$ actúa en una familia de espacios de Banach entre los que se encuentran los espacios de Hardy, los espacios de Bergmann pesados, los espacios de Dirichlet pesados, los espacios little Bloch, los espacios little Korenblum y el álgebra del disco. Para ello, seguimos un enfoque unificado que nos permite obtener la descripción espectral de $\Delta$ siempre que el espacio de funciones holomorfas satisfaga ciertos axiomas. Por otro lado, los cociclos $(u_t)_{t\in \RR}$ han de cumplir ciertas condiciones (poco restrictivas) que implican que $(u_t)_{t\in \RR}$ se puede representar como $u_t = (\omega \circ \varphi_t)/\omega$, $t\in \RR$, para cierta función holomorfa (también llamada peso) $\omega:\DD \to \CC$ que no presenta ceros en $\DD$, véase \cite{konig1990semicocycles}. Uno de los resultados relevantes de esta tesis es que tal peso $\omega$ presenta ceros o singularidades de tipo polinomiales en los puntos Denjoy-Wolf de $(\varphi_t)_{t\in \RR}$, esto es en $-1$ y en $1$.
Además, el estudio presentado aquí para los grupos $(u_t C_{\varphi_t})_{t\in \RR}$, o para los grupos más generales $(v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}$, tienen aplicaciones en ciertas conjeturas sobre el espectro de operadores de composición de tipo hiperbólico con pesos invertibles $v C_\psi$; es decir, donde $\psi$ es un automorfismo hiperbólico del disco $\DD$ y donde $v$ es un multiplicador invertible, véase \cite{hyvarinen2013spectra, eklund2016spectral}. En efecto, respondemos de forma afirmativa a dichas conjeturas en el caso de que el operador $vC_{\psi}$ pueda verse como un elemento de un grupo de operadores $(v_t C_{\psi_t})_{t\in \RR}$.
Por otro lado, surge de forma natural el estudio de otros semigrupos de composición pesados usando técnicas inspiradas por las explicadas anteriormente para los automorfismos hiperbólicos. Más precisamente, consideramos semigrupos asociados a semiflujos cuyo punto de Denjoy-Wolf se encuentra en el disco $\DD$, y que tienen un número finito de puntos repulsivos en la frontera $\partial \DD$, esto es, en el círculo $\torus$. Dichos semiflujos vienen inspirados como una versión abstracta del semiflujo analítico
$$
\phi_{t,n}(z):={e^{-t}z\over((e^{-nt}-1)z^n+1)^{1/n}},\quad z\in\DD, t\ge0, n\in\NN.
$$
Además, estos semiflujos aparecen, de una forma natural, relacionados con el estudio de operadores inducidos por matrices de Hausdorff en espacios de funciones holomorfas en $\DD$. En este documento, hacemos uso del estudio espectral del generador de dichos semigrupos para obtener propiedades de acotación y propiedades espectrales de operadores generalizados de Hausdorff en el contexto de espacios de Hardy, espacios de Bergmann pesados, y espacios little Korenblum. Para ello, llevamos a cabo un análisis detallado y riguroso de funciones multivaluadas asociadas a ciertos semicociclos, las cuales también aparecen de forma natural al considerar pesos multivaluados asociados a los integrales promedio. Hemos de notar que, si bien el espectro de familias de operadores de composición pesados no invertibles se ha estudiado en \cite{galindo2020spectra} en condiciones más generales que las dadas en este documento, el espectro de su generador infinitesimal (en el caso de que sean elementos de un semigrupo) no era conocido hasta la fecha.
Con el objetivo de transferir mediante la fórmula de subordinación \eqref{subordinationEsp} información espectral del generador infinitesimal $\Delta$ a los operadores integrales $\mathcal T$ en los que estamos interesados, debemos aplicar un cálculo funcional apropiado (asociado a $\Delta$), así como unos teoremas de aplicación espectral; es decir, igualdades del tipo
$$\widetilde \sigma(\mathcal T) = f(\widetilde \sigma(\Delta)),
$$
donde $f$ es una función en el dominio del cálculo funcional de $\Delta$ tal que $\mathcal T = f(\Delta)$, y donde $\widetilde \sigma$ representa el espectro extendido. Dicho teorema de aplicación espectral fue dado en \cite{haase2005spectral} en el marco de operadores sectoriales y para funciones meromorfas $f$ tales que: 1) $\sigma(\Delta) \setminus \{0\} \subset \dom(f)$; 2) $f$ tiene `límites casi-logarítmicos' en $\widetilde \sigma(\Delta)\cap\{0,\infty\}$. En particular, dicho teorema de aplicación espectral es válido para operadores adecuados $\mathcal T$ que están subordinados a $C_0$-semigrupos. Para cubrir el caso en el que $\mathcal T$ está subordinado a un $C_0$-grupo, hemos de adaptar cuidadosamente los resultados de \cite{haase2005spectral} al marco de operadores de tipo bisectorial. Es más, extendemos el teorema de aplicación espectral de modo que también sea aplicable a diversos subconjuntos espectrales $\widetilde\sigma_i$, todos ellos denominados como `espectro esencial' en la bibliografía por diferentes autores (en particular, el usual espectro esencial $\widetilde\sigma_{ess}$ definido en términos de operadores de tipo Fredholm). Dicha extensión es un avance considerable con respecto a los teoremas de aplicación espectral para espectros esenciales dados en \cite{gramsch1971spectral, gonzalez1985spectral}, ya que la clase de funciones considerada aquí es significativamente más amplia y grande que la considerada en \cite{gramsch1971spectral, gonzalez1985spectral}. Además, respondemos afirmativamente (incluso para todos los espectros esenciales considerados aquí) a una pregunta sugerida por Haase en \cite{haase2005spectral}. Dicha pregunta plantea si el teorema de aplicación espectral se sigue cumpliendo si, en vez de `límites casi-logarítmicos', la función $f$ en cuestión tiene límites `casi-regulares'.
En otra dirección, el operador de Cesàro, el cual puede ser representado con una subordinación en términos del grupo $(E(t))_{t\in \RR}$ como en \eqref{subordinationEsp}, está estrechamente relacionado con la ecuación de Black-Scholes estudiada en \cite{arendt2002spectrum}. Es por ello que el estudio de las versiones fraccionarias de la ecuación de Black-Scholes inducidas por los operadores fraccionarios de Cesàro (los cuales también se pueden subordinar a $(E(t))_{t\in\RR}$) surge de una forma natural. Dado $\alpha>0$, estas ecuaciones fraccionarias vienen dadas por
\begin{equation}\label{GBSEIntroEsp}
\begin{aligned}
%\textcolor{red}{(-1)^{n+1}}
\frac{\partial f}{\partial t} & = \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha f)) - \frac{2}{\Gamma(\alpha+1)} \riemannDerivative^\alpha (x^\alpha f) + f, \\
%\textcolor{red}{(-1)^{n+1}}
\frac{\partial f}{\partial t} &= \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} x^\alpha W^\alpha (x^\alpha W^\alpha f),
\\ \frac{\partial f}{\partial t} & = - \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)^2} \riemannDerivative^\alpha (x^{2\alpha} W^\alpha f)+\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}x^\alpha W^\alpha f,
\end{aligned}
\end{equation}
donde $\riemannDerivative^\alpha$ denota la derivada de orden fraccionario de Riemann-Liouville, y $W^\alpha$ denota la derivada de orden fraccionario de Weyl.
El estudio del buen planteamiento de los problemas (abstractos) de Cauchy asociados a las ecuaciones anteriores no resulta trivial en absoluto. En efecto, la aparición conjunta de derivadas de orden fraccionario, junto con la multiplicación por potencias de orden fraccionario, hace que dichas ecuaciones sean difíciles (quizá imposibles) de resolver usando métodos clásicos. Por otro lado, las ecuaciones \eqref{GBSEIntroEsp} se pueden representar a través del cálculo funcional regularizado del generador infinitesimal $\Delta$ del grupo $(E(t))_{t\in \RR}$. Es más, las funciones (pertenecientes al dominio de dicho cálculo funcional) que aparecen en dicha representación poseen singularidades de tipo polinomial en $\infty$. Por ello, resulta pertinente la propiedad de escalamiento, la cual nos garantiza que el operador fraccionario $\Delta^\alpha$ induce un problema de Cauchy bien planteado para valores de $\alpha$ adecuados. En este sentido, demostramos (en un marco abstracto de operadores de tipo bisectorial y operadores sectoriales) una extensión de la propiedad de escalamiento que, en particular, implica que $f(\Delta)$ induce un problema de Cauchy bien planteado si $f$ tiene singularidades de tipo polinomial en $\infty$. Esta extensión de la propiedad de escalamiento, junto con una serie de resultados auxiliares, nos permite demostrar el buen planteamiento de las ecuaciones fraccionarias de tipo Black-Scholes \eqref{GBSEIntroEsp}, y además de ello, obtener fórmulas explícitas de sus soluciones. \medskip
La memoria está organizada como se expone a continuación.
Tras esta introducción (y su versión en inglés), se encuentra un primer capítulo preliminar donde ciertas definiciones y resultados son recordados. La primera parte del Capítulo \ref{chapterSpectra} está dedicada a la adaptación (de una forma estándar) del `cálculo funcional regularizado' desde el marco de operadores sectoriales (véase \cite{haase2005general, haase2006functional}) a operadores de tipo bisectorial, lo cual será necesario para el enfoque unificado que llevaremos a cabo. La segunda parte de este capítulo está dedicada a la demostración de los teoremas de aplicación espectral para los distintos espectros esenciales. Después, en el Capítulo \ref{chapterScaling}, presentamos extensiones de la propiedad de escalamiento sobre potencias fraccionarias de operadores, y aplicamos dichas extensiones, junto con el cálculo funcional regularizado, para resolver ecuaciones generalizadas de Black-Scholes en espacios de interpolación. El contenido de los Capítulos \ref{chapterSpectra} y \ref{chapterScaling} se puede encontrar en \cite{oliva2022spectral, oliva2023introducing}.
El Capítulo \ref{chapterMultivalued} contiene un análisis sobre funciones multivaluadas necesario para la representación de los semicociclos que aparecen en el Capítulo \ref{chapterHausdorff}, donde presentamos nuestros resultados sobre operadores generalizados de Hausdorff y semigrupos de composición pesados inducidos por semiflujos con punto de Denjoy-Wolf en $\DD$ y con un número finito de puntos repulsivos en $\torus$. El contenido de estos capítulos es el objeto de estudio de un trabajo en desarrollo en colaboración con L. Abadías \cite{abadias2023spectra}.
El Capítulo \ref{chapterHyperbolic} está dedicado al estudio detallado del espectro del generador infinitesimal de grupos de composición pesados inducidos por flujos hiperbólicos, así como a las consecuencias de estos resultados en los operadores integrales subordinados mencionados anteriormente. Estos resultados se encuentran en \cite{abadias2022weighted}.
Finalmente, en la Adenda \ref{chapterHardy}, señalamos diferentes resultados para los operadores de Hardy, resultados en direcciones similares a las mencionadas anteriormente. El material correspondiente a esta adenda se puede encontrar en \cite{miana2020spectra, miana2021integral, oliva2021connection,oliva2022hardy}.
Abstract (other lang.):
Pal. clave: analisis y analisis funcional
Titulación: Programa de Doctorado en Matemáticas y Estadística
Plan(es): Plan 490
Knowledge area: Ciencias
Nota: Presentado: 26 04 2023
Nota: Tesis-Univ. Zaragoza, , 2023
-
Permalink:
Visitas y descargas
Record created 2023-08-31, last modified 2023-08-31
