Productos tensoriales. Extensiones fielmente planas.

Ferrer Castillo, Diego
Elduque Palomo, Alberto Carlos (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2023
Departamento de Matemáticas, Área de Algebra

Graduado en Matemáticas

Resumen: El descenso fielmente plano es una técnica de la geometría algebraica que permite extraer conclusiones sobre objetos relacionados por un morfismo fielmente plano. En este caso, los morfismos serán homomorfismos de anillos y los objetos serán módulos sobre dichos anillos, aunque se puede realizar de forma similar para objetos con un mayor número de operaciones como son las álgebras, o aquellas que preserven estructuras adicionales. De hecho, el descenso fielmente plano fue originalmente demostrado por Alexander Grothendieck para esquemas, un contexto aún más general.
Un módulo es la generalización de la noción de espacio vectorial donde el cuerpo de escalares es sustituido por un anillo. Aunque pueda parecer un pequeño cambio, esto provoca que los módulos sean mucho más difíciles de manejar que los espacios vectoriales, ya que, por ejemplo, un módulo puede no tener una base, lo que hace que gran parte de los resultados del álgebra lineal sobre espacios vectoriales no puedan aplicarse siempre. También generalizan a los propios grupos abelianos, que son simplemente módulos sobre el anillo de los números enteros. Los módulos son una de las nociones centrales del ágebra conmutativa y del álgebra homológica. Además, se utilizan ampliamente en otras ramas como la topología algebraica y la geometría algebraica. Aunque su estudio puede no ser demasiado profundo en los grados de Matemáticas, los módulos desempeñan un papel crucial en dichas áreas.
Así, la idea se reduce a lo siguiente: dado un módulo sobre un anillo, pasar a un módulo sobre un anillo más grande, esto es, extender los escalares, extraer las conclusiones pertinentes y, por último, bajar o "descender" al anillo inicial. La primera parte: subir a un módulo sobre un anillo mayor, no es algo nuevo para aquellos que hayan cursado una titulación en Matemáticas; esta idea es la base de la Teoría de Galois, solo que esta se restringe a extensiones de cuerpos. Sin embargo, todo cuerpo es también un módulo y, en particular, un espacio vectorial. De hecho, todo esto es algo que se utiliza con mucha frecuencia, por ejemplo, partiendo de una matriz sobre los reales, podemos calcular sus valores propios, que pueden ser números complejos y, por lo tanto, no pertenecen a nuestro cuerpo de partida, pero, a partir de estos valores propios, podemos obtener vectores propios cuyas componentes sean números reales.
La forma de ascender, recordar que no es más que extender los escalares, es mediante el producto tensorial: un nuevo módulo creado a partir de dos -aunque pueden ser el mismo-, que se caracteriza por el hecho de que las aplicaciones bilineales (lineales en dos componentes) desde el producto directo de esos dos módulos en cualquier otro, factoriza mediante una aplicación lineal en el producto tensorial. De alguna manera, el producto tensorial deshace la bilinealidad y la transforma en linealidad. Intuitivamente, es pedir, en el producto directo, que la suma en una componente se distribuya como la suma de dos pares, manteniendo la otra componente fija, y, la multiplicación por un escalar en cada componente se corresponda con multiplicar el par.
Ahora podemos expresar qué quiere decir subir o ascender un módulo sobre un anillo R a otro anillo S. Para ello, basta con realizar el producto tensorial del nuevo anillo S con el módulo, obteniendo así un módulo sobre el nuevo anillo llamado "extensión de escalares de R a S".
De la misma forma, un módulo sobre un anillo S desciende a otro anillo R si ocurre al revés, esto es, si el módulo es el resultado de realizar el producto tensorial entre un módulo sobre R y el propio S, en otras palabras, si el módulo original es una extensión de escalares de R a S. Tanto ascender como descender producen un cambio del anillo que actúa en el módulo.
La otra definición central es la de extensión fielmente plana. Estas extensiones u homomorfismos de anillos son las que posibilitan la caracterización de los módulos que descienden. En particular, cuando se dan este tipo de extensiones, el homomorfismo de anillos es siempre inyectivo, por lo que concuerda con la idea de pasar a un anillo más grande. Si la extensión no es fielmente plana, no tenemos forma de saber si el módulo sobre el anillo grande puede descender al otro anillo, al menos no en general. Para llegar a esta definición, se requiere algo de teoría de categorías: una generalización de diversas estructuras matemáticas en una sola y de forma abstracta, mediante el uso de objetos y morfismos. También se necesitan nociones de sucesiones exactas de módulos, que no son más que una forma relativamente cómoda y elegante de hablar sobre núcleos, imágenes, aplicaciones inyectivas, sobreyectivas e isomorfismos de módulos.
Finalmente, el descenso fielmente plano nos proporciona una caracterización de los módulos que pueden descender cuando la extensión es fielmente plana. Estos son los que admiten un denominado $``$dato de descenso$"$: una aplicación que es un isomorfismo entre dos productos tensoriales simétricos y que, al permutarla adecuadamente, conmuta. En definitiva, que se comporte bien con distintas estructuras de módulos en un determinado producto tensorial, el resultado de tensorizar el propio módulo y $S$. Más aún, el teorema final nos da una equivalencia -de categorías- entre los módulos que descienden y aquellos que admiten dato de descenso, en el caso de que la extensión sea fielmente plana. Así, para determinar si un módulo desciende bajo una extensión fielmente plana dada, solo es necesario verificar si admite un dato de descenso. De la misma forma, si un módulo desciende, entonces admite dato de descenso.
La base para el descenso fielmente plano comienza con un complejo de cadenas cosimplicial del álgebra homológica, conocido como complejo de Amitsur, introducido por Shimshon Avraham Amitsur en 1959, a partir del cual, Alexander Grothendieck, en 1960, tan solo un año más tarde, probó que era una sucesión exacta cuando la extensión era fielmente plana. En ese mismo seminario, utilizando el anterior resultado, Grothendieck presentó una elegante demostración de la equivalencia antes mencionanda en un contexto más general, dando así lugar al descenso fielmente plano, que generalizaría todos los descensos utilizados hasta esa fecha, incluido el descenso de Galois, utilizado para extensiones de cuerpos de Galois.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado