Volúmenes de proyecciones de cuerpos convexos y la desigualdad de Zhang.

Marín Gimeno, Beatriz
Alonso Gutiérrez, David (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2023

Graduado en Matemáticas

Resumen: En 1965, Petty demostró que de entre todos los cuerpos convexos, aquel que maximizaba una cantidad en la que intervienen el volumen del cuerpo y el del cuerpo de proyección polar, era la bola Euclídea, obteniendo así una desigualdad más fuerte que la desigualdad isoperimétrica, en la cual la cantidad involucrada es invariante por transformaciones afines. En 1991, Zhang demostró que se minimizaba cuando el cuerpo era un simplex.
El objetivo de este trabajo es demostrar la desigualdad de Zhang. Para ello, primero se verá la desigualdad de Brunn-Minkowski que es un resultado fundamental en geometría convexa y proporciona la concavidad de ciertas funciones. Después se verá la desigualdad de Berwald que proporciona una desigualdad de Hölder inversa para funciones cóncavas añadiéndole unos pesos que dependen del cuerpo convexo, la dimensión y unas contantes positivas. Finalmente, se darán dos demostraciones de la desigualdad , una de las cuales es bastante reciente y se llevó a cabo para obtener una desigualdad de Zhang discreta, y se probará el caso de igualdad.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado