Rodau, Adrien
Florens, Vincent (dir.) ; Artal Bartolo, Enrique Manuel (dir.)
Universidad de Zaragoza,
2023
Resumen: Estudiamos objetos anudados de codimensión dos en variedades de dimensión 3 y 4: configuraciones de rectas complejas en CP2 y enlaces en S3. Introducimos nuevos invariantes topológicos de su encaje, que provienen de la interacción entre el complementario y su estructura periférica.
La motivación para las configuraciones de rectas es identificar pares de Zariski que tienen la misma combinatoria pero diferentes encajes. Basándonos en las ideas desarrolladas por B. Guerville-Ballé y W. Cadiegan-Schlieper, consideramos el mapa de inclusión de la variedad límite hacia el exterior y su efecto sobre las clases de homología. Un estudio cuidadoso de la estructura de grafo de Waldhausen de la variedad del borde permite identificar generadores específicos de la homología. Sus imágenes potenciales están codificadas en un grupo, el estabilizador del grafo, con una elegante presentación combinatoria. El invariante relacionado con la inclusión es un elemento de este grupo. Utilizando una implementación informática en Sagemath y la monodromía de trenzas, calculamos el invariante para algunos ejemplos y encontramos nuevos pares ordenados de Zariski.
La segunda parte se refiere a la teoría de nudos y una generalización de un invariante llamado pendiente («slope») desarrollado por A. Degtyarev, V. Florens y A.G. Lecuona. De manera similar al contexto de configuraciones de rectas, consideramos la inclusión de los componentes del borde de un entorno de un enlace en su exterior. En homología torcida, el núcleo de esta aplicación es un subespacio lagrangiano –para la forma de intersección– y sus pendientes proporcionan un invariante topológico del enlace. Presentamos dos aplicaciones de esta idea. En el primero, desarrollado en colaboración con L. Bénard, consideramos nudos y representaciones SL2(C).
Este nuevo invariante de pendiente parece estar estrechamente relacionado con un invariante de nivel superior llamada polinomio A. La segunda aplicación utiliza un método de caracterización lagrangiano debido a V. Arnol’d. Proporciona un invariante de concordancia con varias relaciones con el invariante de Sato-Levine y los números de enlace de Milnor.
Resumen (otro idioma): We study knotted codimension-two objects in manifolds of dimension 3 and 4: complex line arrangements in CP² and links in S³. We introduce new topological invariants of their embedding, derived from the interaction between their complement and their peripheral structure. The motivation for line arrangements is to identify Zariski pairs which have the same combinatorics but different embeddings. Building on ideas developed by B. Guerville-Ballé and W. Cadiegan-Schlieper, we consider the inclusion map of boundary manifold to the exterior and its effect on homology classes. A careful study of the graph Waldhausen structure of the boundary manifold allows to identify specific generators of the homology. Their potential images are encoded in a group, the graph stabiliser, with a nice combinatorial presentation. The invariant related to the inclusion map is an element of this group. Using a computer implementation in Sage and the braid monodromy, we compute the invariant for some examples and exhibit new ordered Zariski pairs. The second part concerns knot theory and a generalisation of a slope invariant developed by A. Degtyarev, V. Florens and A. G. Lecuona. Similarly to the context of line arrangements, we consider the inclusion map of the boundary components of a neighbourhood of a link in its exterior. On twisted homology, the kernel of this map is a Lagrangian subspace - for the intersection form - and its slopes provide a topological invariant of the link. We present two applications of this idea. In the first, developed in collaboration with L. Bénard, we consider knots and SL2(C) representations. This new slope invariant appears to be closely related to a higher-level invariant called the A-polynomial. The second application uses a Lagrangian characterisation method due to V. Arnol'd. It provides a concordance invariant with several relations to Sato-Levine invariant and Milnor linking numbers.
La motivación para las configuraciones de rectas es identificar pares de Zariski que tienen la misma combinatoria pero diferentes encajes. Basándonos en las ideas desarrolladas por B. Guerville-Ballé y W. Cadiegan-Schlieper, consideramos el mapa de inclusión de la variedad límite hacia el exterior y su efecto sobre las clases de homología. Un estudio cuidadoso de la estructura de grafo de Waldhausen de la variedad del borde permite identificar generadores específicos de la homología. Sus imágenes potenciales están codificadas en un grupo, el estabilizador del grafo, con una elegante presentación combinatoria. El invariante relacionado con la inclusión es un elemento de este grupo. Utilizando una implementación informática en Sagemath y la monodromía de trenzas, calculamos el invariante para algunos ejemplos y encontramos nuevos pares ordenados de Zariski.
La segunda parte se refiere a la teoría de nudos y una generalización de un invariante llamado pendiente («slope») desarrollado por A. Degtyarev, V. Florens y A.G. Lecuona. De manera similar al contexto de configuraciones de rectas, consideramos la inclusión de los componentes del borde de un entorno de un enlace en su exterior. En homología torcida, el núcleo de esta aplicación es un subespacio lagrangiano –para la forma de intersección– y sus pendientes proporcionan un invariante topológico del enlace. Presentamos dos aplicaciones de esta idea. En el primero, desarrollado en colaboración con L. Bénard, consideramos nudos y representaciones SL2(C).
Este nuevo invariante de pendiente parece estar estrechamente relacionado con un invariante de nivel superior llamada polinomio A. La segunda aplicación utiliza un método de caracterización lagrangiano debido a V. Arnol’d. Proporciona un invariante de concordancia con varias relaciones con el invariante de Sato-Levine y los números de enlace de Milnor.
Resumen (otro idioma): We study knotted codimension-two objects in manifolds of dimension 3 and 4: complex line arrangements in CP² and links in S³. We introduce new topological invariants of their embedding, derived from the interaction between their complement and their peripheral structure. The motivation for line arrangements is to identify Zariski pairs which have the same combinatorics but different embeddings. Building on ideas developed by B. Guerville-Ballé and W. Cadiegan-Schlieper, we consider the inclusion map of boundary manifold to the exterior and its effect on homology classes. A careful study of the graph Waldhausen structure of the boundary manifold allows to identify specific generators of the homology. Their potential images are encoded in a group, the graph stabiliser, with a nice combinatorial presentation. The invariant related to the inclusion map is an element of this group. Using a computer implementation in Sage and the braid monodromy, we compute the invariant for some examples and exhibit new ordered Zariski pairs. The second part concerns knot theory and a generalisation of a slope invariant developed by A. Degtyarev, V. Florens and A. G. Lecuona. Similarly to the context of line arrangements, we consider the inclusion map of the boundary components of a neighbourhood of a link in its exterior. On twisted homology, the kernel of this map is a Lagrangian subspace - for the intersection form - and its slopes provide a topological invariant of the link. We present two applications of this idea. In the first, developed in collaboration with L. Bénard, we consider knots and SL2(C) representations. This new slope invariant appears to be closely related to a higher-level invariant called the A-polynomial. The second application uses a Lagrangian characterisation method due to V. Arnol'd. It provides a concordance invariant with several relations to Sato-Levine invariant and Milnor linking numbers.
Pal. clave: topología ; geometría
Titulación: Programa de Doctorado en Matemáticas y Estadística
Plan(es): Plan 490
Área de conocimiento: Ciencias
Nota: Presentado: 15 12 2023
Nota: Tesis-Univ. Zaragoza, , 2023
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Registro creado el 2024-05-22, última modificación el 2024-05-22
