El lema de Watson para la aproximación asintótica de integrales. Aplicación a la función Gamma Incompleta y funciones relacionadas.

López Sierra, Andrés
Ferreira González, Chelo (dir.) ; Pérez Sinusía, Ester (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024

Graduado en Matemáticas

Resumen: Este artículo se centra en un estudio profundo del lema de Watson y su aplicación en el desarrollo de aproximaciones asintóticas para integrales complejas, abordando específicamente la función gamma incompleta y otras funciones relacionadas en matemáticas aplicadas. El estudio se basa en los fundamentos teóricos del análisis asintótico, examinando métodos esenciales para aproximar y resolver integrales que, de otro modo, serían intratables mediante técnicas convencionales. Los métodos clave discutidos incluyen el lema de Watson, el método de Laplace y el método del descenso más pronunciado, todos ellos proporcionando herramientas avanzadas para simplificar cálculos complejos y permitir el análisis de funciones importantes en múltiples campos científicos.
El trabajo está estructurado en tres secciones principales, cada una dedicada al desarrollo teórico y práctico de una función en particular. El primer capítulo profundiza en los principios de la teoría asintótica, estableciendo los conceptos fundamentales necesarios para comprender el papel de las aproximaciones en el manejo de integrales y funciones complejas. Este capítulo introduce los elementos centrales del análisis asintótico, que permiten describir el comportamiento de una función a medida que su argumento se aproxima a un límite específico. Además, presenta técnicas generales de análisis asintótico y describe los métodos más relevantes para este estudio, explicando los fundamentos del lema de Watson y el método de Laplace, y cómo pueden aplicarse para simplificar y resolver integrales. También se dedica una sección a presentar el método del descenso más pronunciado, una técnica esencial para entender el comportamiento de las integrales en dominios complejos.
El segundo capítulo ofrece una exploración más profunda del lema de Watson y la función integral exponencial, analizando su estructura teórica y aplicaciones dentro del marco del análisis asintótico. Se introduce el lema de Watson como un enfoque fundamental para aproximar integrales complejas, detallando sus propiedades y las condiciones bajo las cuales funciona. Además, se examina la función integral exponencial como un ejemplo práctico para ilustrar la eficacia del lema de Watson en la evaluación de integrales complejas. Este capítulo explica los cálculos aproximados para esta función, incluyendo métodos específicos que simplifican su evaluación cuando la variable toma valores grandes. Además, se presentan gráficos y tablas que ilustran la precisión y eficiencia de esta técnica.
El tercer capítulo está dedicado al estudio de la función gamma incompleta y la función hipergeométrica confluente, dos de las funciones especiales más destacadas en matemáticas aplicadas. La función gamma incompleta aparece frecuentemente en probabilidad, estadística y teoría de colas, mientras que la función hipergeométrica confluente es común en ecuaciones diferenciales hipergeométricas. A través de una serie de ejemplos prácticos, este capítulo examina el comportamiento de estas funciones y presenta un desarrollo asintótico basado en el lema de Watson, facilitando su cálculo en intervalos extensos. También se discuten aplicaciones de estas funciones en física e ingeniería, donde modelan fenómenos que dependen de soluciones de ecuaciones diferenciales complejas. El capítulo concluye con un análisis comparativo entre los desarrollos asintóticos y los resultados exactos, demostrando la precisión lograda y las ventajas de usar el lema de Watson para optimizar el cálculo de funciones especiales en contextos aplicados.
Además del desarrollo teórico y práctico de las funciones analizadas, este estudio incorpora una serie de herramientas computacionales que simplifican la implementación de los métodos de aproximación en un entorno numérico. A lo largo de la investigación, se utiliza ampliamente el software Mathematica, permitiendo cálculos de alta precisión y la validación de los resultados teóricos obtenidos mediante desarrollos asintóticos. Mathematica proporciona un entorno flexible y eficiente para el cálculo simbólico y numérico, esencial para confirmar la precisión de los métodos y optimizar los procesos de cálculo. Los códigos implementados en Mathematica, incluidos en los apéndices, ilustran la metodología utilizada para calcular aproximaciones y el error de cada desarrollo.
En cuanto a los resultados, este estudio presenta una serie de gráficos y tablas que ilustran el comportamiento de cada función en diferentes intervalos de su variable. Estas representaciones visuales muestran claramente las aproximaciones asintóticas y permiten comparar la precisión de los desarrollos obtenidos con los valores exactos de las funciones. En particular, los gráficos muestran cómo las aproximaciones logradas mediante el lema de Watson se alinean estrechamente con los valores exactos en intervalos amplios de la variable, validando la efectividad de estos desarrollos en aplicaciones prácticas. Además, las tablas de errores cuantifican las diferencias entre los resultados asintóticos y los valores exactos, permitiendo evaluar la precisión de cada método y ayudando a seleccionar la aproximación más adecuada según el contexto y las necesidades de cálculo.
El apéndice incluye una serie de códigos detallados implementados en Mathematica que complementan y amplían el análisis presentado en los capítulos principales. Estos códigos incluyen la implementación de los modelos de aproximación, la evaluación de precisión en diferentes intervalos y la validación de resultados numéricos mediante pruebas comparativas.
En conclusión, este trabajo demuestra la eficacia y relevancia del lema de Watson en la aproximación de integrales complejas, mostrando cómo estos métodos de desarrollo asintótico pueden proporcionar consistentemente resultados positivos en aplicaciones prácticas. La investigación sugiere que el uso de expansiones asintóticas y su implementación en software especializado pueden abrir nuevas vías de estudio en el análisis numérico y facilitar la extensión de estos métodos a otros problemas en matemáticas aplicadas. Al proporcionar una sólida base teórica y práctica, este estudio contribuye al avance de técnicas sofisticadas para resolver problemas en campos donde la precisión y la eficiencia son esenciales, subrayando la importancia del análisis asintótico en la optimización de cálculos dentro de los dominios científico y de ingeniería.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado