Números Congruentes: de Pitágoras a la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Gallego Ruiz, Uxue
de Vera Piquero, Carlos (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024

Graduado en Matemáticas

Resumen: El propósito de este trabajo es estudiar el problema de los números congruentes. La discusión comienza con la definición sencilla de lo que es un número congruente y procede a explicar la relación entre el problema y el amplio campo de las curvas elípticas. Esto nos lleva finalmente a enunciar la Conjetura de Birch y Swinnerton- Dyer. Los números congruentes se definen como números enteros que se pueden representar como el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. A esta definición le sigue el resultado descubierto por estudiantes árabes en el siglo X, que establece una relación entre números congruentes y números racionales x que satisface que x - n, x, y x + n son cada uno el cuadrado de un número racional. Esta relación es la razón por la que estos números se denominan congruentes, ya que x - n, x y x + n son congruentes módulo n. Utilizando esta correspondencia, se deduce una ecuación cúbica relacionada con el problema. Esta ecuación es En : y2 = x3 - n2x. Además, se demuestra que existe una aplicación biyectiva entre triángulos rectángulos con lados racionales y área n, y soluciones racionales de la ecuación cúbica anterior con y distinta de 0. Así, el problema de encontrar números congruentes se traduce en resolver esta ecuación cúbica. Esta ecuación cúbica resulta ser una curva elíptica. Por esta razón, se discuten las definiciones y propiedades necesarios sobre ellas. El resultado más relevante es que si definimos una cierta operación de grupo para la curva elíptica en el espacio proyectivo, damos a la curva la estructura de un grupo abeliano. Por lo tanto, podemos hablar del orden de los puntos en la curva elíptica. Utilizando técnicas del estudio de curvas elípticas sobre los complejos y combinando un argumento de reducción módulo un primo con un teorema de Dirichlet, se demuestra que sólo hay 4 puntos de orden finito en la curva elíptica En sobre los racionales. Con esto, el teorema de Mordell nos permite reformular nuestro problema de la siguiente manera: Un número entero n > 0 es un número congruente si y sólo si En(Q) es infinito. Por último, se enuncia la conjetura moderna de Birch y Swinnerton-Dyer con el fin de proporcionar un criterio para decidir si En(Q) tiene infinitos puntos o no.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado