Álgebras de Lie: Teoremas de Engel y Lie

Laborda Gutiérrez, Diego
Elduque Palomo, Alberto Carlos (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024
Departamento de Matemáticas, Área de Algebra

Graduado en Matemáticas

Resumen: Alrededor de 1870, Marius Sophus Lie (1842-1899) empezó a estudiar ecuaciones diferenciales desde el punto de vista de la teoría de grupos, basándose en el trabajo de Évariste Galois y Carl Gustav Jacobi. De aquí surgen los conceptos de grupos de Lie, las álgebras de Lie y la importante relación entre estos dos a través de la aplicación exponencial. Desde entonces, la teoría de Lie de simetrías continuas se ha estudiado extensivamente y se ha aplicado a todo tipo de ámbitos. Dentro de las matemáticas se ha aplicado, por ejemplo, en los sistemas de ecuaciones diferenciales y la geometría; mientras que también ha resultado ser muy útil fuera de las matemáticas, en campos como la robótica, la física de partículas y la mecánica cuántica.
Las álgebras de Lie se pueden estudiar como consecuencia de su relación con los grupos de Lie y sus generadores infinitesimales, que es la forma en la que las definió Lie. Sin embargo, también pueden ser estudiadas a parte, sin tocar el lenguaje de estos grupos y las transformaciones continuas. Este trabajo tiene como objetivo dar esta teoría y así mostrar los importantes teoremas de Engel y Lie, que son herramientas fundamentales en el estudio de álgebras de Lie.
En el primer capítulo, definimos las álgebras de Lie y estudiamos sus propiedades, centrándonos en los conceptos de resolubilidad y nilpotencia. Con esta teoría, podemos proponer y demostrar en el segundo capítulo los teoremas de Engel y Lie. El teorema de Engel generaliza el hecho de que un endomorfismo nilpotente en un espacio vectorial de dimensión finita tiene siempre una matriz coordenada triangular, mientras que el teorema de Lie extiende el resultado de que los endomorfismos que conmutan en un cuerpo algebraicamente cerrado comparten un vector propio común.
Veremos finalmente en el tercer capítulo la descomposición de Jordan-Chevalley de endomorfismos y la semisimplicidad de álgebras de Lie, conceptos con los que podemos mostrar los criterios de Cartan para resolubilidad y semisimplicidad. Estos criterios son unas de las primeras consecuencias de los teoremas de Engel y Lie y nos permiten distinguir si un álgebra es resoluble o si es semisimple realizando solo cálculos sencillos con la forma de Killing.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado