| TAZ-TFG-2025-4652 |
La paradoja de Banach-Tarski
Gómez Martínez, Pablo
Lozano Rojo, Álvaro (dir.)
Universidad de Zaragoza,
CIEN,
2025
Departamento de Matemáticas, Área de Geometría y Topología
Graduado en Matemáticas
Resumen: El teorema de Banach-Tarski establece que, dada una bola en el espacio euclídeo tridimensional, es posible descomponerla en un número finito de subconjuntos disjuntos y, mediante la aplicación de ciertas rotaciones, reconstruir a partir de ellos dos copias idénticas de la bola original. Este resultado, conocido como la \textit{Paradoja de Banach-Tarski}, constituye un punto de encuentro entre distintas áreas de la matemática moderna, y su estudio pone de manifiesto la profunda interacción entre la teoría de grupos, la geometría y la teoría de la medida.
Para formalizar la noción que subyace en el teorema, introducimos el concepto de \textit{conjunto paradójico}. Dado un grupo \( G \) que actúa sobre un conjunto \( X \), diremos que \( X \) es \textit{\( G \)-paradójico} si puede descomponerse en un número finito de subconjuntos disjuntos de los que, mediante la acción de elementos de \( G \), pueden obtenerse dos copias del conjunto original. En estos términos, el teorema de Banach-Tarski se reformula afirmando que la bola tridimensional es \( G \)-paradójica bajo la acción de un subgrupo de rotaciones.
El objetivo de este trabajo no se limita a la exposición y demostración rigurosa del teorema, sino que se centra en analizar la relación estructural entre el carácter paradójico de un conjunto y la posibilidad de definir sobre él una medida finito-aditiva e invariante bajo la acción de un grupo. Mostraremos que ambas propiedades, paradojicidad e invariancia de medida, son incompatibles.
En conjunto, los resultados que desarrollamos no solo ofrecen una comprensión rigurosa del Teorema de Banach-Tarski, sino que también ilustran la sorprendente profundidad de la interacción entre geometría, teoría de grupos y teoría de la medida, para lo cual, hacemos uso de ideas que se sitúan en el origen de múltiples líneas de investigación actuales (usaremos sucesiones de F\o lner, filtros y ultralímites)
Para formalizar la noción que subyace en el teorema, introducimos el concepto de \textit{conjunto paradójico}. Dado un grupo \( G \) que actúa sobre un conjunto \( X \), diremos que \( X \) es \textit{\( G \)-paradójico} si puede descomponerse en un número finito de subconjuntos disjuntos de los que, mediante la acción de elementos de \( G \), pueden obtenerse dos copias del conjunto original. En estos términos, el teorema de Banach-Tarski se reformula afirmando que la bola tridimensional es \( G \)-paradójica bajo la acción de un subgrupo de rotaciones.
El objetivo de este trabajo no se limita a la exposición y demostración rigurosa del teorema, sino que se centra en analizar la relación estructural entre el carácter paradójico de un conjunto y la posibilidad de definir sobre él una medida finito-aditiva e invariante bajo la acción de un grupo. Mostraremos que ambas propiedades, paradojicidad e invariancia de medida, son incompatibles.
En conjunto, los resultados que desarrollamos no solo ofrecen una comprensión rigurosa del Teorema de Banach-Tarski, sino que también ilustran la sorprendente profundidad de la interacción entre geometría, teoría de grupos y teoría de la medida, para lo cual, hacemos uso de ideas que se sitúan en el origen de múltiples líneas de investigación actuales (usaremos sucesiones de F\o lner, filtros y ultralímites)
Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado
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