El Teorema de Beurling

Cabrero Lample, Paula
Abadías Ullod, Luciano (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2025
Matemáticas department, Análisis Matemático area

Graduado en Matemáticas

Abstract: En este trabajo se aborda el Problema del Subespacio Invariante, centrándonos en caracterizar el retículo de subespacios invariantes del operador shift en el espacio ℓ₂(ℕ) de las sucesiones cuadrado-sumables. Para ello se establece un isomorfismo isométrico entre este espacio y el espacio de Hardy, identificando el operador shift con el operador de multiplicación Mz : f(z) → zf(z). Esta transformación nos permite caracterizar el retículo de subespacios invariantes de Mz mediante el Teorema de Beurling, que describe dichos subespacios invariantes a partir de las funciones interiores. Finalmente, se obtienen los subespacios invariantes del operador shift mediante la aplicación inversa del isomorfismo isométrico.
In this work, we address the Invariant Subspace Problem, focusing on characterizing the lattice of invariant subspaces of the shift operator in the space ℓ₂(ℕ) of square-summable sequences. To this end, we establish an isometric isomorphism between this space and the Hardy space, identifying the shift operator with the multiplication operator Mz : f(z) → zf(z). This transformation allows us to characterize the lattice of invariant subspaces of Mz through Beurling’s Theorem, which describes such invariant subspaces in terms of inner functions. Finally, the invariant subspaces of the shift operator are obtained by applying the inverse of the isometric isomorphism.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado