Campos magnéticos en superficies

Murillas Rapún, Miguel
Cabrerizo Jaraíz, José Luis (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2015
Departamento de Matemáticas, Área de Geometría y Topología

Graduado en Matemáticas

Resumen: Este trabajo está basado en una serie de artículos publicados por un grupo de investigadores de los Departamentos de Geometría y Topología de Sevilla y Granada, en los que se tenía como objetivo el estudio de problemas de la Física desde un punto de vista Geométrico. Hemos estructurado esta memoria de la siguiente forma: abrimos el Capítulo 2 observando el lugar destacado que ocupan las formaciones helicoidales en la Naturaleza, consecuencia de una ley de la propia Naturaleza que indica el cumplimiento de un principio de economía: el crecimiento se realiza con el coste mínimo de espacio. Así, tanto en el mundo microscópico como el macroscópico encontramos formaciones helicoidales naturales, e incluso podemos añadir el uso de dicha estructura helicoidal en gran cantidad de objetos y obras realizadas por el hombre. La hélice aparecerá también como la trayectoria que sigue una partícula cargada en presencia de un campo magnético. Tras éstas consideraciones damos una pequeña introducción histórica del magnetismo, la electricidad y el electromagnetismo en la Sección 2.2 y a continuación recordamos los conceptos más simples asociados, como el campo magnético creado por un imán, visualizando sus líneas de campo (cerradas) mediante limaduras de hierro. Una corriente eléctrica a través de un hilo produce también un campo magnético del que Oersted obtuvo su dirección. En el Capítulo 3 abrimos la Sección 3.1 recordando conceptos matemáticofísicos que nos serán necesarios para la descripción de los operadores sobre funciones y campos más elementales, como son el gradiente de una función, la divergencia y rotacional de un campo con la notación utilizada en Física, menos rigurosa que la matemática, pero muy intuitiva y práctica. A continuación presentamos las cuatro ecuaciones de Maxwell (originalmente 20) en su versión diferencial de 1884, que Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agruparon y reformularon en la notación vectorial más reconocible de la actualidad. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo el concepto de campo, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. Estas ecuaciones describen los fenómenos electromagnéticos, de las que nos interesa destacar la segunda, la Ley de Gauss para el campo magnético, que se puede interpretar como una ley (no probada) de la no existencia de monopolos. En la Sección 3.2 exponemos la Ley de la fuerza de Lorentz, que nos indica cómo se moverá una partícula cargada en presencia de un campo magnético (sin campo eléctrico presente). Esta ley es la base fundamental del estudio de las curvas magnéticas asociadas a un campo magnético, y ha sido muy contrastada con lo observado en la realidad. Hendrik Antoon Lorentz introduce las teorías atomistas en la teoría de Maxwell y crea modelos que explicaran la interacción entre la radiación y la materia, convencido de que esta última tenía una estructura atómica. Fruto de estos trabajos enmarcó la teoría de Maxwell en una teoría microscópica del electromagnetismo considerando los campos existentes en el interior de la materia en los espacios vacíos entre las partículas. Todo esto le llevó al que sería uno de los mayores éxitos de su carrera como físico teórico, la predicción exacta del efecto Zeeman normal por el cual recibió el premio Nobel de Física en 1902 junto con Pieter Zeeman (el efecto es descrito como la división de una línea espectral en varios componentes cuando el elemento se coloca en la presencia de un campo magnético). En la Sección 3.3 estudiamos un sencillo ejemplo modelo en R^3 considerando un campo estático con la dirección del eje OZ y su efecto mediante la Ley de Lorentz sobre una partícula cargada moviéndose con una dirección dada. Con éste ejemplo en mente, disponemos de una motivación para definir lo que será un campo magnético en una variedad Riemanniana de dimensión arbitraria m, que será introducido en la Sección 3.4. Se define entonces el concepto de campo magnético F en una variedad Riemanniana (M^m, g), donde g es la métrica en M^m. La fuerza de Lorentz asociada a un campo magnético F se define de forma natural y por fin, el concepto de curva magnética del campo F. Algunas propiedades fundamentales de las curvas magnéticas son obtenidas y convenientemente comparadas con las propiedades de las curvas geodésicas de la variedad. En el Capítulo 4 abrimos la Sección 4.1 describiendo cómo es un campo magnético F en una superficie Riemanniana. Se define a continuación la fuerza de Lorentz de dicho campo, lo que nos permitirá calcular la curvatura de una curva magnética correspondiente a F. A continuación se considera el caso particular de los campos uniformes en una superficie, para los que damos la caracterización de las curvas magnéticas en el caso de que nuestra superficie sea de curvatura K constante distinguiendo los casos de curvatura cero, positiva y negativa. Como una aplicación, en la Sección 4.2 terminamos estudiando un caso práctico: planteamos encontrar las superficies de revolución cuyos paralelos son curvas magnéticas correspondientes a un determinado campo magnético uniforme dado. Veremos que la superficie no trivial que cumple tal propiedad es necesariamente la pseudo-esfera. Finalmente, presentamos los campos magnéticos en variedades Riemannianas de dimensión 3, en las que brevemente exponemos la correspondencia biunívoca entre el campo magnético F considerado como una 2-forma cerrada y el campo vectorial B asociado a la misma, y que tiene además divergencia nula, como se exige en la segunda ley de Maxwell.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado