Distribuciones de tiempos de vida y aplicaciones

Garcés Vijuesca, Lorena
Sangüesa Lafuente, Carmen (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2018
Departamento de Métodos Estadísticos, Área de Estadística e Investigación Operativa

Graduado en Matemáticas

Resumen: Este trabajo es una breve introducción sobre distribuciones de tiempos de vida, esto es, sobre la descripción probabilística de variables aleatorias que modelizan tiempos de vida (de una máquina o de un ser humano, por ejemplo). En el primer capítulo comenzamos definiendo los conceptos y funciones principales que utilizaremos en los siguientes capítulos eintroducimos conceptos muy útiles en teoría de la fiabilidad, como la función de fallo R(x) y veremos que cuando X tiene densidad, la derivada en casi todo punto de la función de fallo define la tasa de fallo. Definimos el concepto de mixtura y cómo aparecen de forma natural en nuestro entorno. Además recordaremos las principales distribuciones univariantes de interés en fiabilidad. En el estudio de la monotonía de las tasas de fallo juega un papel fundamental el estudio de la concavidad y convexidad del logaritmo de la función de supervivencia, por eso en el segundo capítulo recordamos conceptos como función convexa ó cóncava. Además veremos como la log-concavidad de una función está muy relacionada con el concepto de positividad total. Así, definiremos el concepto de función totalmente positiva de orden k y el de función de frecuencias de Pólya de orden k y cómo se relaciona, con la log-concavidad y log-convexidad. El tercer capítulo constituye una parte fundamental del trabajo, en él estudiamos en profundidad las tasas de fallo. Comenzaremos el capítulo definiendo los conceptos de función de densidad log-cóncava y log-convexa y cómo condicionan a sus funciones de distribución y función de supervivencia a ser log-cóncavas o log-convexas. Daremos una definición alternativa de tasa de fallo utilizando la noción de vida residual y veremos proposiciones que relacionan la monotonía de las tasa de fallo con la log-concavidad (convexidad) de la función de supervivencia las cuales nos permiten dar caracterizaciones de tasas de fallo monótonas en términos de determinantes. Estudiaremos en profundidad las tasas de fallo crecientes y decrecientes y algunas propiedades específicas de éstas. Dos aspectos a remarcar son, en primer lugar que las convoluciones de distribuciones con tasa de fallo creciente tienen tasa de fallo creciente y por otro lado que las mixturas de distribuciones con tasa de fallo decrecientes tienen tasa de fallo decreciente. También estudiaremos tasas de fallo de tipo bañera que son de gran interés ya que combina tasa de fallo decreciente, constante y creciente. Finalmente, en el cuarto y último capítulo introducimos los sistemas coherentes, uno de los modelos probabilísticos más importantes en teoría de la fiabilidad. Un sistema coherente está formado por distintas componentes, y el funcionamiento de éste depende del funcionamiento de uno, varios o todos los componentes que lo forman (por ejemplo, consideremos un avión (sistema) con varios motores (componentes)). Dependiendo del número de componentes necesario para que el sistema funcione, hablaremos de un sistema en serie, en paralelo o k de n y cómo los subconjuntos de componentes serán de trayectoria mínima o de corte de estructura coherente en función de si las componentes funcionan o fallan. Hablaremos de función de fiabilidad de un sistema coherente y de cómo vienen dadas en cada uno de los sistemas que hemos descrito. Introduciremos la noción de tiempo de vida del sistema en función de los tiempos de vida de sus componentes. Veremos como se ha introducido el concepto de tiempo para componentes idénticamente distribuidas, en particular, veremos la conexión entre el tiempo de vida de un sistema k de n y el concepto de estadístico ordenado. Asimismo expresaremos la función de fallo del tiempo de vida de un sistema coherente mediante la función de fallo de los tiempos de vida de sus componentes. Para terminar discutiremos si un sistema coherente se desgasta de la misma forma con la que lo hacen sus componentes.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado