La constante de isotropía de cuerpos convexos y la conjetura del hiperplano

Martín Goñi, Javier
Alonso Gutiérrez, David (dir.) ; Bernués Pardo, Julio (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2021

Máster Universitario en Modelización e Investigación Matemática, Estadística y Computación

Resumen: La convexidad y en particular los cuerpos convexos han sido un importante campo de estudio en las últimas décadas, basado en la interacción entre la teoría local de espacios de Banach con geometría convexa y probabilidad. En este trabajo centramos nuestro estudio en la isotropía de cuerpos convexos, la cual es una magnitud relacionada con la distribución de masa de cuerpos convexos.
A cada cuerpo convexo K se le asocia una constante de isotropía, denotada LK, que indica el volumen del elipsoide de inercia de aquel elemento de su familia de transformaciones afines que está en una posición específica, llamada posición de isotropía. El objetivo principal de este trabajo es estudiar la conjetura de la constante de isotropía, la cual plantea la existencia de una constante absoluta C>0 tal que LK >C, para todo cuerpo convexo K, para toda dimensión. Además, veremos que esta cuestión es equivalente a la conjetura del hiperplano, en la que se plantea si existe una cota inferior c>0 absoluta, tal que todo cuerpo convexo de volumen 1 tenga una sección central con volumen al menos c.
Estas cuestiones aún no ha sido resultas en toda su generalidad, pero sí en algunas familias de cuerpos convexos. En este trabajo vamos a exponer algunos ejemplos de ello. El estudio de funciones log-cóncavas es esencial en trabajo. Como resultados originales, mejoraremos algunas estimaciones para funciones log-cóncavas cuando se satisfacen mejores condiciones de concavidad, como es el caso de algunas de las funciones que aparecen en este estudio.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Master