| TAZ-TFG-2021-2661 |
La desigualdad de Brascamp-Lieb en geometría convexa
Vicente Sabroso, Javier
Alonso Gutiérrez, David (dir.)
Universidad de Zaragoza,
CIEN,
2021
Graduado en Matemáticas
Resumen: El objetivo de este trabajo es el estudio de la desigualdad de Brascamp-Lieb y sus aplicaciones en geometría convexa. Nos centraremos en sus aplicaciones relacionadas con la obtención de desigualdades de volúmenes para cuerpos convexos en la llamada posición de John.
En el primer capítulo vamos a introducir algunos conceptos generales básicos en geometría convexa, que serán necesarios en el resto del trabajo. Dos cuerpos convexos particulares jugarán un papel especial, que será el cubo n-dimensional y el símplex regular, que se presentará en este capítulo y cuyo volumen se calculará.
En el segundo capítulo probaremos la desigualdad de Brascamp-Lieb, una desigualdad funcional que afirma que, para unos vectores, que forman un sistema generador, y unos escalares que cumplen ciertas condiciones, se puede encontrar una constante D, que depende únicamente de los vectores y de los escalares, tal que la integral de R^n del producto de funciones f_j en el espacio L_p_j(R), evaluadas en los productos escalares de la variable contra
los vectores está acotada por D veces el producto de las normas p_j de las funciones f_j.
También se probará una versión inversa de esta desigualdad, mostrando que la constante que aparece en la desigualdad de Brascamp-Lieb y su versión inversa es la constante que aparece cuando consideramos funciones gaussianas.
En el tercer capítulo, nos centraremos en el estudio de los cuerpos convexos en posición de John, que son aquellos cuyo elipsoide de máximo volumen contenido en ellos es la bola euclídea. Tales cuerpos convexos tienen unos vectores y unos escalares asociados a ellos, para lo cual demostraremos que la constante F que aparece en la desigualdad de Brascamp-Lieb es F = 1. También mostraremos en este capítulo que el cubo n-dimensional y el símplex regular (apropiadamente reescalado) están en posición de John.
Finalmente, en el último capítulo, haremos uso de la desigualdad de Brascamp-Lieb para mostrar que entre todos los cuerpos convexos en posición de John, el símplex regular (apropiadamente reescalado) es el que tiene el máximo volumen y, entre todos los cuerpos convexos simétricos, el cubo n-dimensional es el que tiene el máximo volumen.
En el primer capítulo vamos a introducir algunos conceptos generales básicos en geometría convexa, que serán necesarios en el resto del trabajo. Dos cuerpos convexos particulares jugarán un papel especial, que será el cubo n-dimensional y el símplex regular, que se presentará en este capítulo y cuyo volumen se calculará.
En el segundo capítulo probaremos la desigualdad de Brascamp-Lieb, una desigualdad funcional que afirma que, para unos vectores, que forman un sistema generador, y unos escalares que cumplen ciertas condiciones, se puede encontrar una constante D, que depende únicamente de los vectores y de los escalares, tal que la integral de R^n del producto de funciones f_j en el espacio L_p_j(R), evaluadas en los productos escalares de la variable contra
los vectores está acotada por D veces el producto de las normas p_j de las funciones f_j.
También se probará una versión inversa de esta desigualdad, mostrando que la constante que aparece en la desigualdad de Brascamp-Lieb y su versión inversa es la constante que aparece cuando consideramos funciones gaussianas.
En el tercer capítulo, nos centraremos en el estudio de los cuerpos convexos en posición de John, que son aquellos cuyo elipsoide de máximo volumen contenido en ellos es la bola euclídea. Tales cuerpos convexos tienen unos vectores y unos escalares asociados a ellos, para lo cual demostraremos que la constante F que aparece en la desigualdad de Brascamp-Lieb es F = 1. También mostraremos en este capítulo que el cubo n-dimensional y el símplex regular (apropiadamente reescalado) están en posición de John.
Finalmente, en el último capítulo, haremos uso de la desigualdad de Brascamp-Lieb para mostrar que entre todos los cuerpos convexos en posición de John, el símplex regular (apropiadamente reescalado) es el que tiene el máximo volumen y, entre todos los cuerpos convexos simétricos, el cubo n-dimensional es el que tiene el máximo volumen.
Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado
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