La teoría ergódica y la aplicación logística

López Jarque, Juan Manuel
Abadías Ullod, Luciano (dir.) ; Gómez Ambrosi, Carlos (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024
Departamento de Matemáticas,

Graduado en Matemáticas

Resumen: El trabajo se dividiría en dos partes.
En la primera parte se estudiarían las nociones básicas de la teoría ergódica, y se daría una demostración del teorema ergódico de Birkhoff. Dicho teorema puede interpretarse como una versión de la ley fuerte de los grandes números (Cálculo de probabilidades, Teoría de la probabilidad), y se demuestra con técnicas de teoría de la medida (Integral de Lebesgue). De hecho, la teoría ergódica puede verse como una aplicación de la teoría de la medida al estudio del comportamiento promedio a largo plazo de los sistemas dinámicos.
En la segunda parte del trabajo se estudiaría la aplicación logística x -> 4x(1-x), que presenta un comportamiento caótico (Modelización matemática, Sistemas dinámicos). El teorema ergódico de Birkhoff se utilizaría para entender el comportamiento asintótico promedio de las trayectorias de la aplicación logística, que se distribuyen con arreglo a una función de densidad de la que se conoce una expresión analítica. Se llevarían a cabo algunas simulaciones numéricas para ilustrar esto.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado