Análisis Topológico de Datos

Garcés Paniagua, Daniel
Marco Buzunáriz, Miguel Ángel (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024
Departamento de Matemáticas, Área de Geometría y Topología

Graduado en Matemáticas

Resumen: En el campo del Análisis de Datos el uso de herramientas matemáticas tanto para el desarrollo de al-
goritmos como para evaluar la precisión de los procesos es fundamental. Tradicionalmente se emplean
métodos y conecptos basados en las áreas de Optimización, Álgebra Lineal y Estadística. En este Tra-
bajo de Fin de Grado exploraremos el Análisis Topológico de Datos a través de una de las herramientas
más utilizadas en esta disciplina: la homología persistente.
En el primer capítulo dedicaremos una seccion inicial a introducir el concepto de complejo simplicial
y hablaremos brevemente de alguna de las aplicaciones y propiedades de estos objetos. Continuaremos
construyendo los grupos de cadenas y consecuentemente los emplearemoss junto a los operadores borde
para definir los complejos de cadenas y grupos de homología.
Comenzaremos el segundo capítulo dando unos cuantos ejemplos de filtraciones y cómo relacionarlas
a fin de dar sentido a la definición de homología persistente, la cual presentaremos junto a un teorema
que determina su estructura. En una última sección daremos una manera sencilla de computar dicha
homología persistente a partir de la matriz del operador borde utilizando el concepto de barcoding, muy
útil a la hora de presentar la información obtenida mediante este proceso.
Finalmente, como cierre aplicaremos algunos de los conceptos tratados en las secciones anteriores
sobre un ejemplo real: Utilizaremos algunas de las herramientas existentes en Python para calcular la
distancia "bottleneck" entre imágenes de tejido de cáncer de próstata. De este modo pretendemos mostrar
una de las posibles utilidades de la homología persistente como herramienta para el análisis de datos.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado