Teoría de trenzas: una revisión del trabajo de Artin.

Simal Ullate, Alejandro
Artal Bartolo, Enrique Manuel (dir.) ; Cogolludo Agustín, José Ignacio (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024

Graduado en Matemáticas

Resumen: Este trabajo es una revisión del trabajo de Artin relacionado con la teoría de trenzas, concretamente de su artículo "Theory of braids" (1947). Explicaremos este artículo con un lenguaje más moderno, añadiremos una sección de resultados preliminares e introduciremos conceptos que no se encontraban originalmente en el artículo. Finalmente llevamos a cabo una demostración sugerida por Artin, donde probamos que se puede ver el grupo de trenzas como un grupo finitamente presentado.
Empezaremos con un capítulo de preliminares; en la primera sección definiremos el concepto de grupo finitamente presentado y daremos una condición para establecer homomorfismos entre ellos. En la segunda sección estableceremos resultados sobre los homeomorfismos del disco que fijan la frontera y que será útiles después.
En el segundo capítulo definimos el concepto intuitivo de "hilos que se entrelazan" denominado n-movimiento y definiremos una relación de equivalencia entre ellos llamada s-isotopía. Después introducimos el concepto de espacio de configuración y definimos el grupo de trenzas como el grupo fundamental de este espacio.
En el tercer capítulo tratamos la relación entre las trenzas y los homeomorfismos. Extendemos
la s-isotopía a un homeomorfismo en el plano complejo e introducimos un homeomorfismo que “rehace”
una trenza dada. En la siguiente sección veremos cómo cada trenza induce naturalmente un
automorfismo del grupo libre. También demostraremos la existencia de un antimonomorfismo
de grupos entre el grupo de trenzas y el grupo de automorfismos del grupo libre, caracterizando su imagen.
En el último capítulo demostramos cuáles son todas las relaciones del grupo de trenzas y daremos una presentación de este grupo en función de los generadores de Artin.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado