Caracteres de los grupos simétricos

Graus Laporta, Juan Carlos
Martínez Pérez, Concepción María (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024
Departamento de Matemáticas, Área de Algebra

Graduado en Matemáticas

Resumen: La teoría de representaciones es una herramienta muy útil que nos ayuda a entender de manera muy intuitiva cómo puede actuar un grupo sobre un espacio vectorial. Se trata básicamente de asignarle a cada elemento del grupo una matriz a través de un homomorfismo al que llamamos representación del grupo y ver cómo estas matrices actúan sobre un espacio vectorial al que llamamos módulo de la representación. Uno de los conceptos más relevantes de este trabajo son los módulos irreducibles, que son las piezas que constituyen cualquier módulo. Para trabajar con los módulos irreducibles, introducimos el concepto de carácter de una representación; que es básicamente la traza de las matrices asociadas a la representación. El carácter nos da mucha información sobre una representación, hasta tal punto, que podemos ver que una representación está determinada por su carácter. En una tabla de caracteres se recoge mucha información de manera muy resumida sobre los módulos irreducibles, las clases de conjugación de un grupo y qué papel juegan los caracteres realmente. Gracias a los caracteres, podremos ver que hay tantos módulos irreducibles de un grupo como clases de conjugación. En el último capítulo, nos centramos en las representaciones de grupos simétricos. En este caso, el número de clases de conjugación es exactamente el número de particiones del grado del grupo simétrico. Para representar las particiones, utilizamos lo que se conoce como ‘diagramas de Young’, que es una manera de visualizar las particiones de manera más clara y directa. Aunque no lo parezca, estas representaciones gráficas nos
van a ayudar a obtener una manera podremos obtener las representaciones irreducibles directamente.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado