Curvas que rellenan el espacio

Mohand Arraouah, Muad
Bello Burguet, Glenier Lázaro (dir.) ; García Lirola, Luis Carlos (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2024

Graduado en Matemáticas

Resumen: Cantor observó que los intervalos (0, 1) y (0, 1)^2 tienen la misma cardinalidad, planteando la intrigante posibilidad de encontrar una biyección continua entre ellos. Sin embargo, a través del trabajo de Netto en 1878, descubrimos que cualquier biyección debe ser discontinua. En respuesta, nos enfocamos en la posibilidad de encontrar una curva continua y sobreyectiva f que vaya del [0, 1] al [0, 1]^2 . Estas curvas son conocidas como curvas que rellenan el espacio. Para esto, construimos y analizamos varias de estas curvas comenzando con la curva de Peano, la primera de su tipo.
Este trabajo se estructura en varios capítulos. Comenzamos con una introducción a conceptos fundamentales como la completitud, convergencia uniforme, compacidad y conexidad. Luego, analizamos ejemplos clásicos como las curvas de Peano y Hilbert, y proponemos una nueva curva que rellena el espacio. Además, presentamos la curva de Lebesgue, destacando sus propiedades y explorando su generalización a dimensiones superiores. Finalmente, abordamos el Teorema de Hahn-Mazurkiewicz, que establece que un conjunto de R^n es la imagen del intervalo [0,1] bajo una curva continua si y solo si es compacto, conexo y localmente conexo.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado