Principios de la Teoría de Conjuntos y algunos cardinales más allá de ZFC

García de Arce, Nicolás
Montaner Frutos, Fernando (dir.) ; Barrera Esteban, Fernando (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2023

Graduado en Matemáticas

Resumen: La teoría de conjuntos nació cuando Georg Cantor, con la intención de resolver problemas sobre la convergencia de series de Fourier, trató de entender el infinito y las "colecciones" de puntos del plano real. Con el tiempo, se vio el potencial que tenía esta teoría, y con ella nació el propósito de fundamentar las matemáticas sobre una base sólida y clara, y de formalizar todas las ideas subyacentes a los razonamientos matemáticos: nociones básicas pero no definidas como conjunto, relación, infinito... A medida que se desarrollaba, la teoría de conjuntos se asentó como una rama más de las matemáticas, con su propio interés, con sus propios problemas.
El objetivo principal de este trabajo es mostrar cómo se pueden definir conjuntos infinitos tan grandes que no se puedan construir con la teoría básica de conjuntos, pero que sean consistentes con ella. A eso nos referimos en el título con "más allá de ZFC".
Para ello, en la primera parte hacemos una exposición general de la teoría de conjuntos, desde los axiomas de Zermelo-Fraenkel hasta la jerarquía acumulativa de conjuntos. En la segunda parte, definimos el concepto de cardinal inaccesible y mostramos sus propiedades combinatorias y de teoría de modelos, así como su independencia de ZFC. Después, definimos otros tipos de grandes cardinales (hiperinaccesibles y Mahlo), y estudiamos sus principales propiedades. Por último, hablamos del Principio de Reflexión de ZF y vemos cómo los cardinales inaccesibles satisfacen una propiedad mucho más fuerte.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado