Algebroides de Lie y sus aplicaciones a la interpolación en variedades diferenciables

Rojo Echeburúa, Ana
Martínez Fernández, Eduardo (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2015
Departamento de Matemática Aplicada, Área de Matemática Aplicada

Máster Universitario en Modelización e Investigación Matemática, Estadística y Computación

Resumen: Existen multitud de problemas en matemáticas y en física en los que la presencia de simetrías en los sistemas dinámicos que los describen permiten simplificar su estudio. Para la resolución de estos problemas es común el uso de herramientas como por ejemplo el cálculo de variaciones, la teoría de control óptimo o las técnicas de optimización en espacios de funciones. En este trabajo, nos centraremos en los problemas de interpolación y aproximación en variedades diferenciables, los cuales tienen especial interés en campos como la robótica o la animación 3D. En este último, interpretando el conjunto de estados de un sistema dinámico como una variedad diferen- ciable, se pueden diseñar trayectorias de objetos que vienen dadas por curvas satisfaciendo ciertas condiciones, y así producir animaciones por ordenador. Se buscan trayectorias sin cambios bruscos, y por tanto, estas curvas han de ser diferenciables en todos sus puntos, por lo que el problema planteado no es un simple problema de interpolación en el que podamos unir puntos mediante geodésicas, ya que de esta forma obtendríamos curvas que aunque fueran continuas, podrían no ser diferenciables en estos puntos de unión. Ésto se traduciría en cambios instantáneos en la velocidad y en la velocidad angular durante la animación. Para solventar éste problema, en vez de trabajar con geodésicas se trabaja con ciertas curvas que minimizan el funcional de la integral de la aceleración total del sistema. A estas curvas se les llama polinomios cúbicos. Uno de los métodos utilizados para la resolución de este tipo de problemas, se basa en realizar los cálculos en la propia variedad diferenciable para luego trasladar los resultados al espacio reducido. Este método es eficaz, pero en muchos casos es largo y tedioso. En este trabajo se hará uso de la teoría de algebroides de Lie para obtener un método de resolución alternativo para este tipo de problemas, trabajando directamente en el espacio reducido y veremos que permite obtener una descripción muy adecuada y ventajosa. Además, aplicaremos los resultados obtenidos a interpolación y aproximación en variedades diferenciables. Empezaremos introduciendo la teoría de algebroides de Lie y veremos que las ecuaciones de Lagrange nos permiten generalizar las ecuaciones clásicas de Lagrange para un sistema lagrangiano, así como el cálculo de variaciones en algebroides de Lie en el caso en el que se trabaje con un funcional de orden uno, para aplicarlo al problema concreto del sólido rígido. Se presentará la teoría análoga en el caso del cálculo de variaciones de orden superior en algebroides de Lie con la intención de aplicarlo al caso de los splines cúbicos en so(3). Por último, se calculará la diferencial segunda de ambos funcionales, con la intención de realizar un análisis que se pospone para un posterior trabajo sobre las condiciones necesarias y suficientes de un mínimo.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Master