TAZ-TFG-2015-1977

Formulación simpléctica de la Mecánica Cuántica

Sala de Torres-Solanot, Pablo
Clemente-Gallardo, Jesús (dir.) ; Cariñena Marzo, José Fernando (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2015
Departamento de Física Teórica, Área de Física Teórica

Graduado en Matemáticas

Resumen: A pesar de que la mecánica cuántica suele ser formulada de una forma algebraica, una formulación geométrica de la misma ha sido desarrollada desde los años 70. Nuestro objetivo en este trabajo será explicar como realizar esta "geometrización" en términos de los observables y aplicarla a la contracción de la estructuras subyacentes de los sistemas cuánticos abiertos. Por un lado, con el fin de reformular la mecánica cuántica, necesitaremos identificar el aparato matemático mínimo necesario. En nuestro caso, los principales objetos de la formulación serán el espacio de observables y el espacio de estados, vistos como funcionales sobre los anteriores. De este modo, en el primer capítulo identificaremos estos ingredientes, entonces estudiaremos sus estructuras matemáticas subyacentes y finalmente las traduciremos al lenguaje geométrico. Con este fin, definiremos un par de tensores que codifican la estructura de álgebra de Lie y de Jordan, existentes en el espacio de observables. Finalmente, al final del capítulo explicaremos como calcular el campo vectorial asociado con la dinámica sobre el espacio de estados, dado en el caso de sistemas cerrados por la ecuación de von Neumann. Sin embargo, debido a la interacción no despreciable existente entre un sistema cuántico real y su entorno, el sistema perderá algunas de sus características cuánticas, para finalmente mostrar un comportamiento un tanto "clásico", donde los observables que antes no conmutaban empiezan a hacerlo. Este tipo de sistemas, conocidos como sistemas cuánticos abiertos, serán la razón de este trabajo. Por tanto, estudiaremos cómo el álgebra de observables cambia bajo esta evolución. Como dicha evolución no es unitaria, haremos uso del concepto de contracción de álgebras. Además, también nos enfrentaremos con el efecto Zenón cuántico. Este efecto, que ha sido desarrollado en los últimos cuarenta años, podría ser útil en varios campos tales como: el control de la decoherencia en computación cuántica, para reducir la dosis en las tomografías por reducción de neutrones, como preservación eficiente de la polarización de espín en gases etc. Debido a este efecto, uno podría proteger un cierto estado cuántico midiendo el sistema cuántico en estudio de manera continuada. Nuestra sensación, es que este fenómeno puede ser explicado haciendo uso del formalismo geométrico de la mecánica cuántica y de la teoría de contracciones.