Ceros y factorización de funciones holomorfas

Martín Goñi, Javier
Alonso Gutiérrez, David (dir.)

Universidad de Zaragoza, CIEN, 2020

Graduado en Matemáticas

Resumen: El Teorema de factorización de Weierstrass generaliza el Teorema Fundamental del Álgebra a funciones enteras con finitos o infinitos ceros. En este trabajo veremos que cualquier función holomorfa se puede factorizar como un producto infinito de funciones holomorfas que involucran a los ceros de la función. Y también el recíproco, definiendo un producto infinito que cumpla una serie de condiciones, se puede definir una función holomorfa que tenga los ceros que queramos con las multiplicidades que queramos.
Para ello vamos a estudiar propiedades de los productos infinitos, en concreto su convergencia.
Nos apoyaremos en la Fórmula de Jensen y los Productos de Blashcke para estudiar la localización y distribución de ceros de funciones acotadas.
Por último, veremos la aplicación de este estudio en las funciones Gamma de Euler y Zeta de Riemann. La función Gamma se puede definir como un producto infinito, aplicando Terorema de factorización de Weierstrass. En cuanto a la función Zeta, es evidente la importancia de la localizacion de sus ceros, ya que la Hipótesis de Riemann es uno de los problemas abiertos más importantes de la actualidad.

Tipo de Trabajo Académico: Trabajo Fin de Grado